Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\operatorname{sen} x)^{\frac{1}{\ln x}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} (\operatorname{sen} x)^{\frac{1}{\ln x}}.
  • Informações importantes que o enunciado dá:
    • A função seno aparece em \operatorname{sen} x (usarei a notação \sin x na parte matemática).
    • A variável tende para 0 pela direita ( x\to 0^{+}).
    • Para x\to 0^{+} temos \sin x \to 0^{+} e \ln x \to -\infty.
  • Observação útil (sem resolver ainda): a expressão tem a forma de uma base que vai para 0^{+} elevada a um expoente que vai para 0 (pois 1/\ln x \to 0^{-}), então convém transformar o problema para uma forma mais manejável antes de concluir.

Passo 2

Transformação logarítmica (razão: simplificar potências) — justificativa e passo a passo:
  • Técnica que vamos usar: tomar o logaritmo natural da expressão para transformar potência em produto. Isso é permitido porque a função exponencial \mathrm{e}^t é contínua e estritamente positiva: se conseguir \lim do logaritmo, a limite original será \mathrm{e} elevado a esse valor limite.
  • Seja y(x) = (\sin x)^{\frac{1}{\ln x}}.Tomando logaritmo natural de ambos os lados: \ln y(x) = \frac{1}{\ln x}\,\ln(\sin x).
  • Portanto, se existir o limite L_1=\lim_{x\to 0^{+}} \frac{\ln(\sin x)}{\ln x},então o limite pedido é \lim_{x\to 0^{+}} y(x)=\mathrm{e}^{L_1}.Logo o problema reduz-se a calcular L_1.

Passo 3

Analisar o limite L_1=\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} \dfrac{\ln(\sin x)}{\ln x} — identificação da forma e escolha do método:
  • Para x\to 0^{+} temos \sin x\to 0^{+}, logo \ln(\sin x)\to -\infty; também \ln x\to -\infty. Assim é uma forma indeterminada -\infty/-\infty.
  • Um método direto e simples para esse tipo de forma é a Regra de L’Hospital. Vou aplicá-la: se f(x)\to -\infty e g(x)\to -\infty e as derivadas existem, então \lim_{x\to 0^{+}} \frac{\ln(\sin x)}{\ln x} = \lim_{x\to 0^{+}} \frac{\dfrac{d}{dx}\big(\ln(\sin x)\big)}{\dfrac{d}{dx}\big(\ln x\big)}.
  • Calcule as derivadas: \frac{d}{dx}\big(\ln(\sin x)\big) = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x, \qquad \frac{d}{dx}\big(\ln x\big) = \frac{1}{x}.Assim, pela Regra de L’Hospital, L_1 = \lim_{x\to 0^{+}} \frac{\cot x}{1/x} = \lim_{x\to 0^{+}} x\cot x.
  • Simplifique x\cot x: x\cot x = x\frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\cos x}{\dfrac{\sin x}{x}}.Agora use dois limites padrão conhecidos: \lim_{x\to 0} \cos x = 1, \qquad \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.Portanto L_1 = \frac{1}{1} = 1.
(Se preferir, dá para ver a mesma conclusão usando a expansão \sin x = x - \dfrac{x^{3}}{6} + o(x^{3}) e depois \ln(\sin x)=\ln x + \ln\!\big(1 - \dfrac{x^{2}}{6} + o(x^{2})\big)=\ln x + o(1), o que também leva a L_1=1.)

Passo 4

Retornar ao limite original e concluir:
  • Encontramos L_1=1. Então, lembrando que \lim_{x\to 0^{+}} (\sin x)^{\frac{1}{\ln x}} = \mathrm{e}^{L_1},segue que \lim_{x\to 0^{+}} (\sin x)^{\frac{1}{\ln x}} = \mathrm{e}^{1} = \mathrm{e}.

Resposta

\mathrm{e}

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