Calcule os limites a seguir:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede-se calcular o limite
. - Informações importantes que o enunciado dá:
- A função seno aparece em
(usarei a notação na parte matemática). - A variável tende para
pela direita ( ). - Para
temos e .
- A função seno aparece em
- Observação útil (sem resolver ainda): a expressão tem a forma de uma base que vai para
elevada a um expoente que vai para (pois ), então convém transformar o problema para uma forma mais manejável antes de concluir.
Passo 2
Transformação logarítmica (razão: simplificar potências) — justificativa e passo a passo:
- Técnica que vamos usar: tomar o logaritmo natural da expressão para transformar potência em produto. Isso é permitido porque a função exponencial
é contínua e estritamente positiva: se conseguir do logaritmo, a limite original será elevado a esse valor limite. - Seja
Tomando logaritmo natural de ambos os lados: - Portanto, se existir o limite
então o limite pedido é Logo o problema reduz-se a calcular .
Passo 3
Analisar o limite
— identificação da forma e escolha do método:
- Para
temos , logo ; também . Assim é uma forma indeterminada . - Um método direto e simples para esse tipo de forma é a Regra de L’Hospital. Vou aplicá-la: se
e e as derivadas existem, então - Calcule as derivadas:
Assim, pela Regra de L’Hospital, - Simplifique
: Agora use dois limites padrão conhecidos: Portanto
(Se preferir, dá para ver a mesma conclusão usando a expansão
e depois
, o que também leva a
.)
Passo 4
Retornar ao limite original e concluir:
- Encontramos
. Então, lembrando que segue que