Encontre uma primitva de cada função a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: “encontre uma primitiva” dessa função.
Ou seja, precisamos achar uma função tal que
para todo
do domínio. Também é esperado incluir a constante de integração, pois primitivas vêm em família.
Ou seja, precisamos achar uma função
Passo 2
O que significa “primitiva”?
Uma primitiva de é qualquer função
que satisfaça
Uma primitiva de
Aqui queremos
tal que
Lembre-se: a derivada é a operação inversa da diferenciação/integração; portanto, para encontrar
pensamos em qual função, ao ser derivada, gera
.
Passo 3
Regra prática (caso mais usado em provas): para expoentes inteiros (e, de modo geral, para
) vale a regra de potências para primitivas:
onde
é um número real diferente de
, e
é a constante de integração.
Explicando por que isso funciona: se tomarmos a função e a derivarmos, usando a regra da potência para derivadas (que diz que
para
inteiro), obtemos
Explicando por que isso funciona: se tomarmos a função
Portanto
é realmente uma primitiva de
. Não esqueça do
, que representa que somar uma constante não altera a derivada.
Passo 4
Aplicando a regra ao nosso caso: aqui
. Então
Passo 5
Verificação rápida (bom hábito na prova): calcule a derivada de
. Usando a regra da potência,
que é exatamente
. Então está correto.
Passo 6
Dica para a prova: memorize a fórmula geral
e, na hora, apenas substitua
. Se pedirem uma primitiva sem especificar, entregar com
. Se precisarem de uma primitiva particular, podem escolher
.