Encontre uma primitva de cada função a seguir:
f(x)=x^{3}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{3} e pede: “encontre uma primitiva” dessa função.
Ou seja, precisamos achar uma função F(x) tal que F'(x)=f(x) para todo x do domínio. Também é esperado incluir a constante de integração, pois primitivas vêm em família.

Passo 2

O que significa “primitiva”?
Uma primitiva de f é qualquer função F que satisfaça
F'(x)=f(x).
Aqui queremos F tal que
F'(x)=x^{3}.
Lembre-se: a derivada é a operação inversa da diferenciação/integração; portanto, para encontrar F pensamos em qual função, ao ser derivada, gera x^{3}.

Passo 3

Regra prática (caso mais usado em provas): para expoentes inteiros (e, de modo geral, para n\neq -1) vale a regra de potências para primitivas:
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde n é um número real diferente de -1, e C é a constante de integração.
Explicando por que isso funciona: se tomarmos a função \dfrac{x^{n+1}}{n+1} e a derivarmos, usando a regra da potência para derivadas (que diz que \dfrac{d}{dx}x^{k}=k x^{k-1} para k inteiro), obtemos
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=\frac{1}{n+1}\cdot (n+1)x^{(n+1)-1}=x^{n}.
Portanto \dfrac{x^{n+1}}{n+1} é realmente uma primitiva de x^{n}. Não esqueça do +C, que representa que somar uma constante não altera a derivada.

Passo 4

Aplicando a regra ao nosso caso: aqui n=3. Então
\int x^{3}\,dx=\frac{x^{3+1}}{3+1}+C=\frac{x^{4}}{4}+C.

Passo 5

Verificação rápida (bom hábito na prova): calcule a derivada de \dfrac{x^{4}}{4}+C. Usando a regra da potência,
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{4}}{4}+C\right)=\frac{1}{4}\cdot 4x^{3}+0=x^{3},
que é exatamente f(x). Então está correto.

Passo 6

Dica para a prova: memorize a fórmula geral \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C e, na hora, apenas substitua n. Se pedirem uma primitiva sem especificar, entregar com +C. Se precisarem de uma primitiva particular, podem escolher C=0.

Resposta

\dfrac{x^{4}}{4}+C

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