Encontre o problema de valor inicial para cada uma das quatro equações diferenciais abaixo.
Passo 1
Temos quatro equações diferenciais lineares de primeira ordem com condições iniciais. Vamos usar o método do fator integrante para resolver cada uma. Precisamos identificar
, calcular o fator integrante
, multiplicar a equação por
, integrar ambos os lados e aplicar a condição inicial para determinar a constante de integração.
Passo 2
Para
, identificamos
e
. O fator integrante é
Multiplicando e notando que
, temos
Integrando,
Logo
Usando
dá
logo
. Assim
Passo 3
Para
, temos
e
. O fator integrante é
Multiplicando,
Integrando,
Logo
Usando
obtém-se
logo
. Assim
Passo 4
Para
, dividimos por
e escrevemos
Aqui
, então
Multiplicando,
Integrando,
Logo
Usando
dá
Assim
Passo 5
Para
, temos
, então
Multiplicando,
Integrando,
Como
implica
, obtemos
Resposta
As soluções de cada problema de valor inicial são: