Encontre o problema de valor inicial para cada uma das quatro equações diferenciais abaixo.

Passo 1

Temos quatro equações diferenciais lineares de primeira ordem com condições iniciais. Vamos usar o método do fator integrante para resolver cada uma. Precisamos identificar p(t), calcular o fator integrante mu(t)=e^integral p(t),dt, multiplicar a equação por mu(t), integrar ambos os lados e aplicar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Para y'-y=2t e^2t,;y(0)=1, identificamos p(t)=-1 e g(t)=2t e^2t. O fator integrante é
mu(t)=e^integral -1,dt=e^-t
Multiplicando e notando que (e^-ty)'=e^-t(y'-y), temos
(e^-ty)'=e^-tcdot2t e^2t=2t e^t
Integrando,
e^-ty=2integral t e^t,dt+ C=2(t-1)e^t+C
Logo
y=2(t-1)e^2t+Ce^t
Usando y(0)=1 -2+C=1 logo C=3. Assim
y(t)=2(t-1)e^2t+3e^t

Passo 3

Para y'+y=t e^-2t,;y(1)=0, temos p(t)=1 e g(t)=t e^-2t. O fator integrante é
mu(t)=e^integral1,dt=e^t
Multiplicando,
(e^ty)'=e^t(y'+y)=t e^-2te^t=t e^-t
Integrando,
e^ty=integral t e^-t,dt+ C=-(t+1)e^-t+C
Logo
y=-(t+1)e^-2t+Ce^-t
Usando y(1)=0 obtém-se -2e^-2+Ce^-1=0 logo C=2e^-1. Assim
y(t)=-(t+1)e^-2t+2e^-t-1

Passo 4

Para t y'+2y=t^2-t+1,;y(1)=tfrac12,;t>0, dividimos por t e escrevemos
y'+2ty=t-1+1t
Aqui p(t)=2/t, então
mu(t)=e^integral2/t,dt=t^2
Multiplicando,
(t^2y)'=t^2l(t-1+1tr)=t^3-t^2+t
Integrando,
t^2y=integral(t^3-t^2+t),dt+ C=t^44-t^33+t^22+C
Logo
y=t^24-t3+12+Ct^-2
Usando y(1)=tfrac12
14-13+12+C=12implies C=112
Assim
y(t)=t^24-t3+12+112t^2

Passo 5

Para y'-2y=e^2t,;y(0)=2, temos p(t)=-2, então
mu(t)=e^integral-2,dt=e^-2t
Multiplicando,
(e^-2ty)'=e^-2t(y'-2y)=1
Integrando,
e^-2ty=t+Cimplies y=e^2t(t+C)
Como y(0)=2 implica C=2, obtemos
y(t)=(t+2)e^2t

Resposta

As soluções de cada problema de valor inicial são:
  1. y(t)=2(t-1)e^2t+3e^t
  2. y(t)=-(t+1)e^-2t+2e^-t-1
  3. y(t)=dfract^24-dfract3+dfrac12+dfrac112t^2
  4. y(t)=(t+2)e^2t

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