Explique por que uma função contínua em um intervalo fechado e limitado é sempre integrável no sentido de Riemann.

Passo 1

Resumo do problema: Queremos mostrar que toda função contínua f em um intervalo fechado e limitado [a,b] é integrável no sentido de Riemann. Vamos usar conceitos de continuidade, uniformidade e somas superior e inferior de Riemann.

Passo 2

Teoria de uniform continuidade: Como f é contínua em [a,b], que é compacto, pelo Teorema de Heine–Cantor ela é uniformemente contínua. Isso significa que para todo varepsilon>0 existe de0 tal que se |x-y| então |f(x)-f(y)|.

Passo 3

Construção de uma partição adequada: Dado um varepsilon'>0, escolha varepsilon = varepsilon'/(b-a). Pela uniformidade, existe de0 para esse varepsilon. Agora pegue uma partição P de [a,b] cujo tamanho de maior subintervalo (mesh) seja menor que de. Assim, em cada subintervalo [xi-1,xi], a oscilação Mi - mi de f satisfaz Mi - mi < varepsilon.

Passo 4

Estimativa da diferença entre soma superior e inferior: Definindo Mi=sup[xi-1,xi]f e mi=inf[xi-1,xi]f, as somas de Riemann satisfazem
U(P,f)-L(P,f)=sumi=1^n (Mi - mi),De

Passo 5

Conclusão de integrabilidade: Como podemos fazer U(P,f)-L(P,f) menor que qualquer varepsilon'>0 escolhendo uma partição adequada, pela definição de integrabilidade de Riemann (critério de Darboux) concluímos que f é integrável em [a,b].

Resposta

Uma vez que a diferença entre soma superior e soma inferior pode ser tornada arbitrariamente pequena usando uniform continuidade, f satisfaz o critério de Darboux e, portanto, é integrável no sentido de Riemann em [a,b].

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