Explique por que uma função contínua em um intervalo fechado e limitado é sempre integrável no sentido de Riemann.
Passo 1
Resumo do problema: Queremos mostrar que toda função contínua
em um intervalo fechado e limitado
é integrável no sentido de Riemann. Vamos usar conceitos de continuidade, uniformidade e somas superior e inferior de Riemann.
Passo 2
Teoria de uniform continuidade: Como
é contínua em
, que é compacto, pelo Teorema de Heine–Cantor ela é uniformemente contínua. Isso significa que para todo
existe
tal que se
então
.
Passo 3
Construção de uma partição adequada: Dado um
, escolha
. Pela uniformidade, existe
para esse
. Agora pegue uma partição
de
cujo tamanho de maior subintervalo (mesh) seja menor que
. Assim, em cada subintervalo
, a oscilação
de
satisfaz
.
Passo 4
Estimativa da diferença entre soma superior e inferior: Definindo
e
, as somas de Riemann satisfazem
Passo 5
Conclusão de integrabilidade: Como podemos fazer
menor que qualquer
escolhendo uma partição adequada, pela definição de integrabilidade de Riemann (critério de Darboux) concluímos que
é integrável em
.
Resposta
Uma vez que a diferença entre soma superior e soma inferior pode ser tornada arbitrariamente pequena usando uniform continuidade,
satisfaz o critério de Darboux e, portanto, é integrável no sentido de Riemann em
.