Encontre o valor de y0 para o qual a solução y(t) do problema de valor inicial
y^prime-y=1+3 sen t, y(0)=y0

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear de 1º ordem y' - y = 1 + 3sin t com condição inicial y(0)=y0. O conteúdo é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e termo não-homogêneo periódico. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular, depois impor a condição inicial e ajustar y0 para eliminar o termo exponencial.

Passo 2

Assumimos uma solução particular da forma
yp(t)=Asin t + Bcos t + C
Dessa forma
yp'(t)=Acos t - Bsin t

Passo 3

Substituindo em y'-y:
(yp' - yp)(t) = (Acos t - Bsin t) - (Asin t + Bcos t + C) = (A - B)cos t + (-A - B)sin t - C
Isso deve ser igual a 1 + 3sin t. Comparando coeficientes:

Passo 4

A - B = 0, - A - B = 3, - C = 1
Resolvendo vem
A=B, de -2A=3 temos A=B=-tfrac32, e C=-1.

Passo 5

A solução geral é
y(t)=C1 e^t + yp(t) = C1 e^t - tfrac32sin t - tfrac32cos t -1
Impondo y(0)=y0:
y0 = C1 + yp(0) = C1 - tfrac32cdot0 - tfrac32cdot1 -1 = C1 - tfrac52
Logo C1 = y0 + tfrac52.

Passo 6

Para que a solução não cresça exponencialmente (por exemplo, seja limitada ou periódica), é preciso C1=0. Assim,
y0 + tfrac52 = 0 implies y0 = -tfrac52

Resposta

y0 = -tfrac52

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