Encontre o produto vetorial \mathbf{a} \times \mathbf{b}.
\mathbf{a}=\langle-3,2,2\rangle, \quad \mathbf{b}=\langle 6,3,1\rangle

Passo 1

O enunciado pede o produto vetorial entre dois vetores. Informações dadas:
  • Vetor \mathbf{a}=\langle -3,\,2,\,2\rangle.
  • Vetor \mathbf{b}=\langle 6,\,3,\,1\rangle.
  • Objetivo: calcular \mathbf{a}\times\mathbf{b}.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (forma em componentes). Para dois vetores \mathbf{a}=\langle a_1,\,a_2,\,a_3\rangle e \mathbf{b}=\langle b_1,\,b_2,\,b_3\rangle o produto vetorial é o vetor
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\bigl(a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1\bigr).
Explicando cada termo: o primeiro componente é a diferença entre o produto do segundo de \mathbf{a} pelo terceiro de \mathbf{b} e o produto do terceiro de \mathbf{a} pelo segundo de \mathbf{b}; os outros seguem padrão cíclico. Essa fórmula vem da expansão do determinante com os versores \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}.

Passo 3

Identificar as coordenadas dos vetores dados:
a_1=-3,\quad a_2=2,\quad a_3=2,
b_1=6,\quad b_2=3,\quad b_3=1.

Passo 4

Calcular o primeiro componente usando \;c_1=a_2 b_3 - a_3 b_2\;:
c_1 = (2)\cdot(1) - (2)\cdot(3).
Fazendo as contas passo a passo:
(2)\cdot(1)=2,\qquad (2)\cdot(3)=6,
c_1=2-6=-4.

Passo 5

Calcular o segundo componente usando \;c_2=a_3 b_1 - a_1 b_3\;:
c_2 = (2)\cdot(6) - (-3)\cdot(1).
Passo a passo:
(2)\cdot(6)=12,\qquad (-3)\cdot(1)=-3,
c_2=12-(-3)=12+3=15.

Passo 6

Calcular o terceiro componente usando \;c_3=a_1 b_2 - a_2 b_1\;:
c_3 = (-3)\cdot(3) - (2)\cdot(6).
Passo a passo:
(-3)\cdot(3)=-9,\qquad (2)\cdot(6)=12,
c_3=-9-12=-21.

Passo 7

Juntar os componentes para obter o produto vetorial:
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\langle -4,\,15,\,-21\rangle.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas bom para confiar no resultado): o produto vetorial deve ser perpendicular a ambos os vetores, ou seja, o produto escalar com cada um deve ser zero. Calcular \mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) e \mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}).
Primeiro:
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) = (-3)(-4) + (2)(15) + (2)(-21).
=12 + 30 -42 =0.
Segundo:
\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) = (6)(-4) + (3)(15) + (1)(-21).
=-24 +45 -21 =0.
Ambos zero, então o vetor encontrado é ortogonal a \mathbf{a} e a \mathbf{b}, conferindo a consistência do cálculo.

Resposta

\langle -4,\,15,\,-21\rangle

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