Encontre o produto vetorial \mathbf{a} \times \mathbf{b}.
\mathbf{a}=\langle 1,-1,0\rangle, \quad \mathbf{b}=\langle 3,2,1\rangle

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b}.
Dados fornecidos:
  • \mathbf{a}=\langle 1,-1,0\rangle.
  • \mathbf{b}=\langle 3,2,1\rangle.
Objetivo claro: calcular \mathbf{a}\times\mathbf{b} usando as componentes dadas.

Passo 2

O que é o produto vetorial (resumo didático e fórmula):
  • O produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} é um vetor perpendicular aos vetores \mathbf{a} e \mathbf{b}.
  • Pode ser calculado usando a determinante com os vetores unitários \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}:
\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ a_1 & a_2 & a_3 \\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}.
  • Em termos das componentes a_1,a_2,a_3 e b_1,b_2,b_3, a fórmula explícita é
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\langle a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1\rangle.
Explicando cada parte: cada componente é a diferença de produtos cruzados das componentes dos vetores — não precisa decorar a determinante se entender este padrão (primeira componente usa as componentes 2 e 3, segunda usa 3 e 1, terceira usa 1 e 2, com sinais alternados).

Passo 3

Identificar as componentes dos vetores dados (peguei estes números do enunciado):
a_1=1,\quad a_2=-1,\quad a_3=0,
b_1=3,\quad b_2=2,\quad b_3=1.

Passo 4

Calcular a primeira componente usando a fórmula \,c_1=a_2 b_3 - a_3 b_2:
c_1 = (-1)\cdot 1 - 0\cdot 2 = -1 - 0 = -1.

Passo 5

Calcular a segunda componente usando \,c_2=a_3 b_1 - a_1 b_3:
c_2 = 0\cdot 3 - 1\cdot 1 = 0 - 1 = -1.

Passo 6

Calcular a terceira componente usando \,c_3=a_1 b_2 - a_2 b_1:
c_3 = 1\cdot 2 - (-1)\cdot 3 = 2 - (-3) = 2 + 3 = 5.

Passo 7

Juntar as componentes para formar o vetor resultado:
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\langle -1,-1,5\rangle.

Passo 8

Cheque rápido (para ganhar confiança): o produto vetorial deve ser perpendicular a \mathbf{a} e \mathbf{b}. Verificar com produto interno (peguei os componentes dos vetores e do resultado):
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) = 1\cdot(-1)+(-1)\cdot(-1)+0\cdot5 = -1+1+0 = 0,
\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) = 3\cdot(-1)+2\cdot(-1)+1\cdot5 = -3-2+5 = 0.
Como ambos dão zero, a perpendicularidade está confirmada — resultado consistente.

Resposta

\langle -1,-1,5\rangle

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