Encontre o produto vetorial \mathbf{a} \times \mathbf{b}.
\mathbf{a}=2 \mathbf{i}-\mathbf{k}, \quad \mathbf{b}=\mathbf{i}+2 \mathbf{j}

Passo 1

O que o problema pede: encontrar o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b}.
Informações dadas:
  • \mathbf{a}=2\mathbf{i}-\mathbf{k}.
  • \mathbf{b}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}.
Vou usar essas informações sem pedir nada a mais. Respira fundo — vamos passo a passo.

Passo 2

Definição e fórmula prática: o produto vetorial entre dois vetores em \mathbb{R}^3 resulta num vetor perpendicular aos dois. Uma forma prática de calcular é usar o determinante simbólico ou a fórmula por componentes.
A representação em determinante é
\mathbf{a}\times\mathbf{b}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ a_1 & a_2 & a_3 \\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}.
Escrevendo isso em termos das componentes, a fórmula componente a componente é
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=(a_2 b_3 - a_3 b_2)\mathbf{i}-(a_1 b_3 - a_3 b_1)\mathbf{j}+(a_1 b_2 - a_2 b_1)\mathbf{k},
onde:
  • a_1,a_2,a_3 são as componentes de \mathbf{a} (respectivamente nas direções \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}),
  • b_1,b_2,b_3 são as componentes de \mathbf{b}.
Essa fórmula vem direto da expansão do determinante e é a forma que vou usar — é rápida e fácil de aplicar na prova.

Passo 3

Extrair as componentes dos vetores dados. A partir de \mathbf{a}=2\mathbf{i}-\mathbf{k} e \mathbf{b}=\mathbf{i}+2\mathbf{j} obtemos:
  • a_1=2, a_2=0, a_3=-1.
  • b_1=1, b_2=2, b_3=0.
Expliquei cada componente: por exemplo, como não aparece \mathbf{j} em \mathbf{a}, tem a_2=0; como aparece -\mathbf{k}, tem a_3=-1.

Passo 4

Calcular a componente na direção \mathbf{i} usando a fórmula
\text{componente}_x = a_2 b_3 - a_3 b_2.
Substituindo os valores:
\text{componente}_x = (0)\cdot(0) - (-1)\cdot(2) = 0 - (-2) = 2.
Portanto c_1=2.

Passo 5

Calcular a componente na direção \mathbf{j} usando a fórmula (observe o sinal negativo da fórmula)
\text{componente}_y = -(a_1 b_3 - a_3 b_1).
Primeiro calcule o parêntese:
a_1 b_3 - a_3 b_1 = (2)\cdot(0) - (-1)\cdot(1) = 0 - (-1) = 1.
Agora aplicando o sinal negativo:
\text{componente}_y = -1.
Portanto c_2=-1.

Passo 6

Calcular a componente na direção \mathbf{k} usando a fórmula
\text{componente}_z = a_1 b_2 - a_2 b_1.
Substituindo:
\text{componente}_z = (2)\cdot(2) - (0)\cdot(1) = 4 - 0 = 4.
Portanto c_3=4.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): o produto vetorial deve ser ortogonal a \mathbf{a} e a \mathbf{b}. Fazendo o produto escalar com cada um:
(2,-1,4)\cdot(2,0,-1)=2\cdot2 + (-1)\cdot0 + 4\cdot(-1)=4+0-4=0,
(2,-1,4)\cdot(1,2,0)=2\cdot1+(-1)\cdot2+4\cdot0=2-2+0=0.
Como ambos resultados são zero, o vetor encontrado é de fato perpendicular a \mathbf{a} e a \mathbf{b} — boa checagem!

Resposta

\mathbf{a}\times\mathbf{b}=2\mathbf{i}-\mathbf{j}+4\mathbf{k}

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