Encontre a projeção do vertor
sobre o vetor
.
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre a projeção do vetor
sobre o vetor
.
Dados fornecidos:
- O vetor a ser projetado é
. - O vetor sobre o qual projetamos é
.
O que o problema pede:
- Calcular o vetor projeção de
sobre , isto é o vetor paralelo a que representa a componente de na direção de .
Passo 2
Definição e ideia do método (explicação didática e intuitiva).
- A projeção de
sobre é um múltiplo escalar de . Então podemos escrever a projeção como para algum escalar . - A condição que determina
é que o erro deve ser ortogonal a . Em palavras: a diferença entre e sua projeção tem que ficar perpendicular à direção projetada, porque toda a componente em direção a foi removida. - Matemáticamente essa condição é
onde
é o produto escalar (ou produto interno) em
.
- Desenvolvendo a condição:
- Portanto a fórmula prática é
Explicando o que aparece na fórmula:
-
é o produto escalar entre e , dado por somar os produtos das coordenadas correspondentes. -
é o quadrado da norma de (ou seja ). - O quociente
é o escalar que multiplica para obter a projeção.
Passo 3
Calcular o produto escalar
passo a passo.
- Por definição, para
e ,
- Aplicando aos vetores dados:
- Calculando termo a termo:
- Somando:
- Simplificando:
portanto
Passo 4
Calcular
(o denominador) passo a passo.
- Pela mesma definição,
- Calculando os quadrados:
- Somando:
Passo 5
Determinar o escalar
.
- Substituindo os valores encontrados:
- Interpretação rápida: a projeção será
vezes o vetor ; o sinal negativo indica que a componente de na direção de aponta no sentido oposto a .
Passo 6
Calcular a projeção final
coordenada a coordenada.
- Multiplicando
pelo escalar :
- Fazendo a multiplicação em cada componente:
- Simplificando:
Passo 7
Verificação rápida (checagem útil na prova).
- Deve valer
. Vou fazer a verificação por completude:
- Não é necessário simplificar tudo aqui; o motivo é que a construção garantiu ortogonalidade algebraicamente. Em prova, basta mostrar que
foi obtido impondo . Essa verificação serve para ganhar confiança no resultado.