Encontre a projeção do vertor v=(1,-2,3,-4) \in \mathbb{R}^{4} sobre o vetor w=(1,2,1,2).

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a projeção do vetor \,v=(1,-2,3,-4)\in\mathbb{R}^{4}\, sobre o vetor \,w=(1,2,1,2)\in\mathbb{R}^{4}\,.
Dados fornecidos:
  • O vetor a ser projetado é \,v=(1,-2,3,-4)\,.
  • O vetor sobre o qual projetamos é \,w=(1,2,1,2)\,.
O que o problema pede:
  • Calcular o vetor projeção de \,v\, sobre \,w, isto é o vetor paralelo a \,w\, que representa a componente de \,v\, na direção de \,w.

Passo 2

Definição e ideia do método (explicação didática e intuitiva).
  • A projeção de \,v\, sobre \,w\, é um múltiplo escalar de \,w\,. Então podemos escrever a projeção como \,\alpha w\, para algum escalar \,\alpha.
  • A condição que determina \,\alpha\, é que o erro \,v-\alpha w\, deve ser ortogonal a \,w. Em palavras: a diferença entre \,v\, e sua projeção tem que ficar perpendicular à direção projetada, porque toda a componente em direção a \,w\, foi removida.
  • Matemáticamente essa condição é
(v-\alpha w)\cdot w = 0,
onde \,\cdot\, é o produto escalar (ou produto interno) em \mathbb{R}^4.
  • Desenvolvendo a condição:
v\cdot w - \alpha\, w\cdot w = 0 \quad\Rightarrow\quad \alpha = \frac{v\cdot w}{w\cdot w}.
  • Portanto a fórmula prática é
\text{proj}_{w}(v)=\frac{v\cdot w}{w\cdot w}\;w.
Explicando o que aparece na fórmula:
  • \,v\cdot w\, é o produto escalar entre \,v\, e \,w\,, dado por somar os produtos das coordenadas correspondentes.
  • \,w\cdot w\, é o quadrado da norma de \,w\, (ou seja \|w\|^2).
  • O quociente \dfrac{v\cdot w}{w\cdot w} é o escalar \alpha que multiplica \,w para obter a projeção.

Passo 3

Calcular o produto escalar \,v\cdot w\, passo a passo.
  • Por definição, para \,v=(v_1,v_2,v_3,v_4)\, e \,w=(w_1,w_2,w_3,w_4)\,,
v\cdot w = v_1 w_1 + v_2 w_2 + v_3 w_3 + v_4 w_4.
  • Aplicando aos vetores dados:
v\cdot w = (1)\cdot(1) + (-2)\cdot(2) + (3)\cdot(1) + (-4)\cdot(2).
  • Calculando termo a termo:
(1)\cdot(1)=1,\quad (-2)\cdot(2)=-4,\quad (3)\cdot(1)=3,\quad (-4)\cdot(2)=-8.
  • Somando:
v\cdot w = 1 + (-4) + 3 + (-8) = 1-4+3-8.
  • Simplificando:
1-4=-3,\quad -3+3=0,\quad 0-8=-8,
portanto
v\cdot w = -8.

Passo 4

Calcular \,w\cdot w\, (o denominador) passo a passo.
  • Pela mesma definição,
w\cdot w = 1^2 + 2^2 + 1^2 + 2^2.
  • Calculando os quadrados:
1^2=1,\quad 2^2=4,\quad 1^2=1,\quad 2^2=4.
  • Somando:
w\cdot w = 1+4+1+4 = 10.

Passo 5

Determinar o escalar \,\alpha=\dfrac{v\cdot w}{w\cdot w}.
  • Substituindo os valores encontrados:
\alpha = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5}.
  • Interpretação rápida: a projeção será -\tfrac{4}{5} vezes o vetor \,w\,; o sinal negativo indica que a componente de \,v\, na direção de \,w\, aponta no sentido oposto a \,w.

Passo 6

Calcular a projeção final \,\text{proj}_{w}(v)=\alpha w\, coordenada a coordenada.
  • Multiplicando \,w=(1,2,1,2)\, pelo escalar \,\alpha=-\tfrac{4}{5}:
\text{proj}_{w}(v) = -\frac{4}{5}\,(1,2,1,2).
  • Fazendo a multiplicação em cada componente:
\text{proj}_{w}(v) = \left(-\frac{4}{5}\cdot 1,\; -\frac{4}{5}\cdot 2,\; -\frac{4}{5}\cdot 1,\; -\frac{4}{5}\cdot 2\right).
  • Simplificando:
\text{proj}_{w}(v) = \left(-\frac{4}{5},\; -\frac{8}{5},\; -\frac{4}{5},\; -\frac{8}{5}\right).

Passo 7

Verificação rápida (checagem útil na prova).
  • Deve valer (v-\text{proj}_w(v))\cdot w = 0. Vou fazer a verificação por completude:
v-\text{proj}_w(v) = \left(1+\frac{4}{5},\; -2+\frac{8}{5},\; 3+\frac{4}{5},\; -4+\frac{8}{5}\right).
  • Não é necessário simplificar tudo aqui; o motivo é que a construção garantiu ortogonalidade algebraicamente. Em prova, basta mostrar que \alpha foi obtido impondo (v-\alpha w)\cdot w=0. Essa verificação serve para ganhar confiança no resultado.

Resposta

\displaystyle \left(-\frac{4}{5},-\frac{8}{5},-\frac{4}{5},-\frac{8}{5}\right)

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