Para as funções f e g definidas abaixo, encontre (i) f+g, (ii) f / g, (iii) g / f, (iv) f circ g e (v) g circ f e defina seus domínios.
f(x)=raizx+1 ; g(x)=raizx

Passo 1

O enunciado pede para calcular cinco operações entre as funções f(x)=raizx+1 e g(x)=raizx: soma, quocientes e composições, além de determinar o domínio de cada uma. O conteúdo é operações com funções (soma, divisão e composição) e vamos precisar usar as definições de domínio e as regras básicas:

Passo 2

Para a soma, usamos (f+g)(x)=f(x)+g(x). Isso só faz sentido onde ambas as funções existem, ou seja, no domínio comum. Como f exige x+1>=0Rightarrow x>=-1 e g exige x>=0, o domínio de f+g é a interseção, isto é, [0,infty). Logo: $ (f+g)(x)=\sqrt{x+1}+\sqrt{x},;x\in[0,\infty).$

Passo 3

Para o quociente (f/g)(x)=dfracf(x)g(x)=dfracraizx+1raizx, precisamos de x que esteja em ambos os domínios e que o denominador não seja zero. Já vimos que a interseção é [0,infty), e exigimos raizxneq0, isto é, x>0. Portanto, o domínio é (0,infty) e a expressão fica: (f/g)(x)=dfracraizx+1raizx,;x>0

Passo 4

Para o quociente inverso (g/f)(x)=dfracg(x)f(x)=dfracraizxraizx+1, o domínio deve satisfazer x>=0 (para g) e x>=-1 (para f), além de raizx+1neq0. Como x+1>=1 para x>=0, o denominador nunca zera. Logo o domínio é [0,infty) e: (g/f)(x)=dfracraizxraizx+1,;x>=0

Passo 5

Para a composição fcirc g, definimos (fcirc g)(x)=fl(g(x)r). Primeiro, g(x)=raizx exige x>=0. Depois, colocamos isso em f, que exige g(x)+1>=0. Mas raizx+1>=1>0 sempre que x>=0. Então o domínio de fcirc g é [0,infty). Temos: (fcirc g)(x)=raizraizx+1,;x>=0

Passo 6

Para a composição gcirc f, fazemos (gcirc f)(x)=gl(f(x)r). Aqui f(x)=raizx+1 exige x+1>=0Rightarrow x>=-1. Em seguida, colocamos em g, que só precisa que f(x)>=0. Mas raizx+1>=0 sempre que x>=-1. Portanto o domínio de gcirc f é [-1,infty) e: (gcirc f)(x)=raizraizx+1= (x+1)^1/4,;x>=-1

Resposta

(i) (f+g)(x)=√(x+1)+√x, Domínio [0,∞)
(ii) (f/g)(x)=√(x+1)/√x, Domínio (0,∞)
(iii) (g/f)(x)=√x/√(x+1), Domínio [0,∞)
(iv) (f∘g)(x)=√(√x+1), Domínio [0,∞)
(v) (g∘f)(x)=√(√(x+1))=(x+1)^{1/4}, Domínio [−1,∞)

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