Para as funções
e
definidas abaixo, encontre (i)
, (ii)
, (iii)
, (iv)
e (v)
e defina seus domínios.
Passo 1
O enunciado pede para calcular cinco operações entre as funções
e
: soma, quocientes e composições, além de determinar o domínio de cada uma. O conteúdo é operações com funções (soma, divisão e composição) e vamos precisar usar as definições de domínio e as regras básicas:
Passo 2
Para a soma, usamos
. Isso só faz sentido onde ambas as funções existem, ou seja, no domínio comum. Como
exige
e
exige
, o domínio de
é a interseção, isto é,
. Logo: $ (f+g)(x)=\sqrt{x+1}+\sqrt{x},;x\in[0,\infty).$
Passo 3
Para o quociente
, precisamos de
que esteja em ambos os domínios e que o denominador não seja zero. Já vimos que a interseção é
, e exigimos
, isto é,
. Portanto, o domínio é
e a expressão fica:
Passo 4
Para o quociente inverso
, o domínio deve satisfazer
(para
) e
(para
), além de
. Como
para
, o denominador nunca zera. Logo o domínio é
e:
Passo 5
Para a composição
, definimos
. Primeiro,
exige
. Depois, colocamos isso em
, que exige
. Mas
sempre que
. Então o domínio de
é
. Temos:
Passo 6
Para a composição
, fazemos
. Aqui
exige
. Em seguida, colocamos em
, que só precisa que
. Mas
sempre que
. Portanto o domínio de
é
e:
Resposta
(i) (f+g)(x)=√(x+1)+√x, Domínio [0,∞)
(ii) (f/g)(x)=√(x+1)/√x, Domínio (0,∞)
(iii) (g/f)(x)=√x/√(x+1), Domínio [0,∞)
(iv) (f∘g)(x)=√(√x+1), Domínio [0,∞)
(v) (g∘f)(x)=√(√(x+1))=(x+1)^{1/4}, Domínio [−1,∞)
(ii) (f/g)(x)=√(x+1)/√x, Domínio (0,∞)
(iii) (g/f)(x)=√x/√(x+1), Domínio [0,∞)
(iv) (f∘g)(x)=√(√x+1), Domínio [0,∞)
(v) (g∘f)(x)=√(√(x+1))=(x+1)^{1/4}, Domínio [−1,∞)