Encontre o PVI associado ao seguinte problema e resolva:
A aceleração de um certo carro esporte é proporcional à diferença entre
e a velocidade do carro. Considere que esta máquina acelerar do repouso a
em 10 s .Qual a velociadade do carro em 15 s.
A aceleração de um certo carro esporte é proporcional à diferença entre
Passo 1
Estamos lidando com um problema de cinemática envolvendo aceleração proporcional à diferença entre uma velocidade máxima (250 km/h) e a velocidade atual do carro. Precisamos encontrar a velocidade do carro após 15 segundos, sabendo que ele partiu do repouso e atingiu 100 km/h em 10 segundos. Para resolver, vamos usar equações diferenciais que modelam essa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir a informação sobre a aceleração em uma equação matemática. Sabemos que a aceleração
é proporcional à diferença entre 250 km/h e a velocidade
do carro:
Aqui,
é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.
Passo 3
Lembrando que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, temos:
Essa é a nossa equação diferencial que descreve o comportamento da velocidade do carro.
Passo 4
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar a constante
. Sabemos que:
- Quando
, km/h (o carro parte do repouso). - Quando
s, km/h.
Primeiro, resolvemos a equação diferencial:
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, encontramos o fator integrante:
Multiplicando ambos os lados da equação por
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Dividindo por
:
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
:
Então, a solução geral é:
Passo 6
Usamos a segunda condição
para encontrar
:
Rearranjando:
Aplicamos o logaritmo natural:
Passo 7
Agora que temos
, podemos escrever a expressão para
:
Passo 8
Finalmente, para encontrar a velocidade aos 15 segundos:
Calculando o expoente:
Então:
Resposta
A velocidade do carro aos 15 segundos é aproximadamente 134,12 km/h.