(1,5) Encontre o PVI associado ao seguinte problema e resolva:
A aceleração de um certo carro esporte é proporcional à diferença entre 250 Km / h e a velocidade do carro. Considere que esta máquina acelerar do repouso a 100 Km / h em 10 s .Qual a velociadade do carro em 15 s.

Passo 1

Estamos lidando com um problema de cinemática envolvendo aceleração proporcional à diferença entre uma velocidade máxima (250 km/h) e a velocidade atual do carro. Precisamos encontrar a velocidade do carro após 15 segundos, sabendo que ele partiu do repouso e atingiu 100 km/h em 10 segundos. Para resolver, vamos usar equações diferenciais que modelam essa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir a informação sobre a aceleração em uma equação matemática. Sabemos que a aceleração a(t) = k (250 - v(t)) é proporcional à diferença entre 250 km/h e a velocidade do carro:
Aqui, é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.

Passo 3

Lembrando que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, temos:
dvdt = k (250 - v(t))
Essa é a nossa equação diferencial que descreve o comportamento da velocidade do carro.

Passo 4

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar a constante dvdt + k v(t) = 250k . Sabemos que:
  • Quando mu(t) = e^kt , e^kt dvdt + k e^kt v(t) = 250k e^kt km/h (o carro parte do repouso).
  • Quando ddt ( e^kt v(t) ) = 250k e^kt s, e^kt v(t) = 250 e^kt + C km/h.
Primeiro, resolvemos a equação diferencial:
v(t) = 250 + C e^-kt
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, encontramos o fator integrante:
Multiplicando ambos os lados da equação por :
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Dividindo por :

Passo 5

Aplicamos a condição inicial 0 = 250 + C e^0 Rightarrow C = -250 :
v(t) = 250 - 250 e^-kt
Então, a solução geral é:

Passo 6

Usamos a segunda condição 100 = 250 - 250 e^-10k para encontrar -150 = -250 e^-10k Rightarrow e^-10k = 150250 = 0.6 :
-10k = ln(0.6) Rightarrow k = -ln(0.6)10 approx 0.0513 , s^-1
Rearranjando:
Aplicamos o logaritmo natural:

Passo 7

Agora que temos v(t) = 250 - 250 e^-0.0513 t , podemos escrever a expressão para :

Passo 8

Finalmente, para encontrar a velocidade aos 15 segundos:
v(15) = 250 - 250 e^-0.0513 times 15
Calculando o expoente:
-0.0513 times 15 approx -0.7695
Então:
v(15) = 250 - 250 e^-0.7695 approx 250 - 250 times 0.4635 approx 250 - 115.88 approx 134.12 , km/h

Resposta

A velocidade do carro aos 15 segundos é aproximadamente 134,12 km/h.

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