(1,5) Resolva a equação x d y-y d x=(1-x^2) d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação . A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais, especificamente as lineares de primeira ordem. Pra resolver, a gente vai precisar reorganizar a equação e usar um fator integrante. Bora passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar x dydx - y = 1 - x^2 isolado. A equação original é:
x dydx = y + 1 - x^2
Vamos adicionar dydx = yx + 1x - x em ambos os lados:
Agora, divide tudo por para isolar :

Passo 3

Essa equação está na forma de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
dydx + P(x)y = Q(x)
Aqui, e .

Passo 4

Pra resolver esse tipo de equação, a gente usa o fator integrante. O fator integrante mu(x) = e^integral P(x) dx é dado por:
mu(x) = e^integral -1x dx = e^-ln|x| = 1x
Substituindo :

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante 1x dydx - yx^2 = 1x^2 - 1 :
ddx ( yx ) = 1x^2 - 1
A parte da esquerda agora é a derivada do produto :

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a integral ddx ( yx ) dx = integral ( 1x^2 - 1 ) dx :
yx = -1x - x + C
Isso dá:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, isolamos y = -1 - x^2 + Cx multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante.

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