Encontre q e r na divisão de a=59 por b=-14 que satisfaçam as condições do algoritmo da divisão.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar \,q e \,r na divisão de \,a=59 por \,b=-14 que satisfaçam as condições do algoritmo da divisão.
Informações dadas: \,a=59, \,b=-14.
Condições do algoritmo da divisão que devemos usar: existem inteiros \,q e \,r tais que
a = bq + r
e
0 \le r < |b|.
Aqui |b| = 14. Não resolvo nada ainda, só organizei o que foi pedido e os dados.

Passo 2

Explicando a ideia do algoritmo da divisão (de forma didática): para inteiros \,a e \,b\neq 0 queremos escrever \,a como um múltiplo de \,b mais um resto \,r que seja não-negativo e menor que o módulo de \,b. Ou seja, \,r é o “resto” e deve obedecer \,0\le r<|b|. Note que usamos |b| porque o resto é sempre medido em valor absoluto (caso \,b seja negativo, a desigualdade do resto continua com |b|). Esse par (q,r) é único.

Passo 3

Escrevo a equação da divisão para os dados do problema:
59 = (-14)\,q + r.
Isolando \,r obtemos
r = 59 + 14\,q.
Como \,r deve satisfazer \,0 \le r < 14, substituo a expressão de \,r nessa desigualdade:
0 \le 59 + 14\,q < 14.

Passo 4

Resolvo a desigualdade passo a passo. Primeiro subtraio 59 de todas as partes:
-59 \le 14\,q < -45.
(Atenção: 14 é positivo, então não inverto sinais ao dividir.) Agora divido por 14:
-\dfrac{59}{14} \le q < -\dfrac{45}{14}.
Calculo as frações (apenas para localizar inteiros):
-\dfrac{59}{14} \approx -4{,}214\ldots,\qquad -\dfrac{45}{14} \approx -3{,}214\ldots
Portanto q deve ser um inteiro no intervalo [-4{,}214\ldots,\,-3{,}214\ldots). O único inteiro que cabe nessa faixa é
q = -4.

Passo 5

Com \,q=-4 calculo \,r pela fórmula \,r = 59 + 14q:
r = 59 + 14\cdot(-4) = 59 - 56 = 3.
Verifico as condições: \,0 \le 3 < 14 (ok) e a identidade da divisão:
(-14)\cdot(-4) + 3 = 56 + 3 = 59,
ou seja, \,59 = (-14)q + r está satisfeita. Tudo confere.

Resposta

\,q=-4
\,r=3

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