Sendo
um inteiro, mostre que
deixa resto 0,1 ou 4 quando dividido por 8.
Passo 1
O enunciado diz: “Sendo
um inteiro, mostre que
deixa resto
,
ou
quando dividido por
.”
Pergunta que devemos responder: quais são os possíveis restos de ao dividir por
, e provar que não há outros.
Informações dadas: é um número inteiro qualquer. Não há mais restrições.
Pergunta que devemos responder: quais são os possíveis restos de
Informações dadas:
Passo 2
Ideia geral (só para organizar a cabeça): todo inteiro é ou par ou ímpar. Vamos separar em casos:
par e
ímpar. Não estamos resolvendo ainda, só explicando por que dividir em casos é natural: a paridade interfere no quadrado porque
e
têm formas diferentes. Agora vamos calcular nitidamente cada caso.
Passo 3
Caso 1 —
é par. Escrevemos
como
onde
é um inteiro. Então
Queremos saber o resto de
ao dividir por
. Observe que
; o fator
já está do lado do quadrado, então o resto depende da paridade de
. Vamos dividir em subcasos.
Passo 4
Subcaso 1.1 —
é par. Escrevemos
com
inteiro. Então
Como
é múltiplo de
(pois
), concluímos que o resto de
por
é
neste subcaso.
Passo 5
Subcaso 1.2 —
é ímpar. Escrevemos
com
inteiro. Então
Reduzindo módulo
, os termos
e
são múltiplos de
, então
Logo, quando
é par e
ímpar, o resto é
.
Passo 6
Resumo do caso par: se
é par então ou
(quando
par) ou
(quando
ímpar). Ou seja, dos pares obtemos restos possíveis
e
.
Passo 7
Caso 2 —
é ímpar. Escrevemos
com
inteiro. Calculamos
Agora note um fato simples e importante: o produto de dois inteiros consecutivos
e
é sempre par (um deles é par). Assim
é um múltiplo de
. Escrevendo
para algum inteiro
, obtemos
Portanto
Passo 8
Conclusão dos casos: para
par obtemos restos
ou
; para
ímpar obtemos resto
. Não existem outros casos porque todo inteiro é par ou ímpar. Assim os únicos restos possíveis de
ao dividir por
são
,
e
.