Sendo a um inteiro, mostre que a^{2} deixa resto 0,1 ou 4 quando dividido por 8.

Passo 1

O enunciado diz: “Sendo a um inteiro, mostre que a^{2} deixa resto 0, 1 ou 4 quando dividido por 8.”
Pergunta que devemos responder: quais são os possíveis restos de a^{2} ao dividir por 8, e provar que não há outros.
Informações dadas: a é um número inteiro qualquer. Não há mais restrições.

Passo 2

Ideia geral (só para organizar a cabeça): todo inteiro é ou par ou ímpar. Vamos separar em casos: a par e a ímpar. Não estamos resolvendo ainda, só explicando por que dividir em casos é natural: a paridade interfere no quadrado porque (2k)^{2} e (2k+1)^{2} têm formas diferentes. Agora vamos calcular nitidamente cada caso.

Passo 3

Caso 1 — a é par. Escrevemos a como
a = 2k,
onde k é um inteiro. Então
a^{2} = (2k)^{2} = 4k^{2}.
Queremos saber o resto de 4k^{2} ao dividir por 8. Observe que 4k^{2}=4\cdot k^{2}; o fator 4 já está do lado do quadrado, então o resto depende da paridade de k. Vamos dividir em subcasos.

Passo 4

Subcaso 1.1 — k é par. Escrevemos k=2m com m inteiro. Então
a^{2} = 4k^{2} = 4(2m)^{2} = 4\cdot 4m^{2}=16m^{2}.
Como 16m^{2} é múltiplo de 8 (pois 16=8\cdot2), concluímos que o resto de a^{2} por 8 é 0 neste subcaso.

Passo 5

Subcaso 1.2 — k é ímpar. Escrevemos k=2m+1 com m inteiro. Então
a^{2} = 4k^{2}=4(2m+1)^{2}=4(4m^{2}+4m+1)=16m^{2}+16m+4.
Reduzindo módulo 8, os termos 16m^{2} e 16m são múltiplos de 8, então
a^{2}\equiv 4 \pmod{8}.
Logo, quando a é par e k ímpar, o resto é 4.

Passo 6

Resumo do caso par: se a é par então ou a^{2}\equiv 0\pmod{8} (quando k par) ou a^{2}\equiv 4\pmod{8} (quando k ímpar). Ou seja, dos pares obtemos restos possíveis 0 e 4.

Passo 7

Caso 2 — a é ímpar. Escrevemos
a = 2k+1,
com k inteiro. Calculamos
a^{2} = (2k+1)^{2} = 4k^{2}+4k+1 = 4\bigl(k^{2}+k\bigr)+1 = 4\bigl(k(k+1)\bigr)+1.
Agora note um fato simples e importante: o produto de dois inteiros consecutivos k e k+1 é sempre par (um deles é par). Assim k(k+1) é um múltiplo de 2. Escrevendo k(k+1)=2t para algum inteiro t, obtemos
a^{2}=4\cdot 2t +1 = 8t+1.
Portanto
a^{2}\equiv 1 \pmod{8}.

Passo 8

Conclusão dos casos: para a par obtemos restos 0 ou 4; para a ímpar obtemos resto 1. Não existem outros casos porque todo inteiro é par ou ímpar. Assim os únicos restos possíveis de a^{2} ao dividir por 8 são 0, 1 e 4.

Resposta

0, 1 ou 4

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