(a) Demonstre que todo quadrado perfeito é da forma
ou
.
(b) Como aplicação, indique em quais algarismos pode terminar um quadrado perfeito.
(c) Demonstre que, se três inteiros positivos
verificam a condição
, então, entre eles há um múltiplo de 5 e um múltiplo de 2 .
(b) Como aplicação, indique em quais algarismos pode terminar um quadrado perfeito.
(c) Demonstre que, se três inteiros positivos
Passo 1
O enunciado tem três pedidos distintos:
- (a) Mostrar que todo quadrado perfeito é da forma
ou . - (b) Aplicação: indicar em quais algarismos (dígitos finais) pode terminar um quadrado perfeito no sistema decimal.
- (c) Demonstrar que, se
são inteiros positivos com , então entre há um múltiplo de e também há um múltiplo de .
Informações relevantes fornecidas (implícitas no enunciado) que vamos usar:
- Trabalhamos com inteiros e com restos de divisões (resíduos) — vamos usar a ideia de dividir um inteiro por
e por (no caso do dígito final) e analisar os restos possíveis. - Para (c) usaremos propriedades de restos (módulo
e módulo ) e o resultado de (a).
Passo 2
Explicação didática sobre a técnica principal (divisão com resto / aritmética modular), necessária para (a) e (b).
Teorema da divisão (forma prática): todo inteiro
pode ser escrito como
onde
é inteiro e o resto
pertence ao conjunto
. O resto
é o que chamamos de
mod
.
Para estudar quadrados, a ideia é tomar todos os possíveis restos
e calcular
mod
. Isso nos dá todos os possíveis restos que um quadrado pode ter ao dividir por
. O mesmo raciocínio vale com módulo
(restos
) para saber o dígito final.
Passo 3
Demonstração de (a): calcular restos de quadrados módulo
.
Seja
um inteiro. Escrevemos
com
. Então
Os termos
e
são múltiplos de
, então, modulo
,
tem o mesmo resto que
. Logo basta calcular
para cada
:
- Para
: , resto . - Para
: , resto . - Para
: , resto . - Para
: (porque — mais simples: ). - Para
: (porque ).
Portanto os restos possíveis de um quadrado módulo
são apenas
. Observando
, concluímos que todo quadrado perfeito é congruente a
,
ou
modulo
. Em forma de múltiplos:
Passo 4
Comentário didático sobre a conclusão de (a) e como usar esse tipo de resultado: a propriedade diz que não existe quadrado que deixe resto
ou
quando dividido por
. Isso será útil em (c).
Passo 5
Demonstração de (b): quais dígitos finais (algarismos) são possíveis para um quadrado perfeito no sistema decimal.
Para saber o dígito final de
basta olhar
módulo
, isto é, escrever
com
e calcular
mod
. Vamos calcular:
-
: dígito . -
: dígito . -
: dígito . -
: dígito . -
: dígito (porque ). -
: dígito . -
: dígito . -
: dígito . -
: dígito . -
: dígito .
Reunindo os dígitos obtidos, os dígitos finais possíveis são
Observação prática: por exemplo
termina em
;
termina em
;
termina em
, etc. Não existem quadrados terminando em
ou
.
Passo 6
Demonstração da parte sobre múltiplo de
em (c) — argumento por paridade com módulo
(explicado passo a passo).
Fato útil (símples): quadrados mod
só podem ser
ou
. Explicação: se um inteiro
é par,
então
. Se
é ímpar,
então
.
Agora suponha, por contradição, que nenhum entre
seja múltiplo de
. Então
e
são ímpares, logo
e
. Assim
Mas
significaria
, o que é impossível pois quadrados modulo
só podem ser
ou
. Conclusão: a hipótese de que nenhum é múltiplo de
é falsa, logo entre
há pelo menos um múltiplo de
.
Passo 7
Demonstração da parte sobre múltiplo de
em (c) — usamos o resultado de (a).
Sabemos por (a) que todo quadrado é congruente a
,
ou
módulo
. Suponha, por contradição, que nenhum dos três números
seja múltiplo de
. Então
são cada um congruentes a
ou
(isto é,
) módulo
.
Considere todas as possibilidades para
módulo
:
-
. -
. -
.
Portanto
pode ser congruente a
ou
módulo
. Mas
e, sob a hipótese de que
também não é múltiplo de
,
deveria ser
ou
módulo
. Nenhum dos valores
ou
coincide com
ou
. A única possibilidade que bate é
, o que implicaria
e portanto
seria múltiplo de
— contradizendo a hipótese que nenhum é múltiplo de
.
Logo a hipótese de que nenhum entre
é múltiplo de
é impossível. Concluímos que entre
há pelo menos um múltiplo de
.
Passo 8
Recapitulando os resultados obtidos e incentivando você: conseguimos provar (a) analisando restos modulo
, aplicar isso para listar os dígitos finais em (b) usando módulo
, e em (c) combinamos argumentos com módulo
(paridade) e módulo
(resultado de (a)) para concluir que existe um múltiplo de
e um múltiplo de
entre
. Boa! Você já tem as ferramentas básicas (divisão com resto e pequenos cálculos de restos) para aplicar em muitos outros problemas parecidos.
Resposta
(a) Todo quadrado perfeito é da forma
,
ou
.
(b) Um quadrado perfeito pode terminar apenas em
ou
.
(c) Se
com
inteiros positivos, então entre
há pelo menos um múltiplo de
e há pelo menos um múltiplo de
.