(a) Demonstre que todo quadrado perfeito é da forma 5 k ou 5 k \pm 1.
(b) Como aplicação, indique em quais algarismos pode terminar um quadrado perfeito.
(c) Demonstre que, se três inteiros positivos a, b, c verificam a condição a^{2}=b^{2}+c^{2}, então, entre eles há um múltiplo de 5 e um múltiplo de 2 .

Passo 1

O enunciado tem três pedidos distintos:
  • (a) Mostrar que todo quadrado perfeito é da forma 5k ou 5k\pm1.
  • (b) Aplicação: indicar em quais algarismos (dígitos finais) pode terminar um quadrado perfeito no sistema decimal.
  • (c) Demonstrar que, se a,b,c são inteiros positivos com a^{2}=b^{2}+c^{2}, então entre a,b,c há um múltiplo de 5 e também há um múltiplo de 2.
Informações relevantes fornecidas (implícitas no enunciado) que vamos usar:
  • Trabalhamos com inteiros e com restos de divisões (resíduos) — vamos usar a ideia de dividir um inteiro por 5 e por 10 (no caso do dígito final) e analisar os restos possíveis.
  • Para (c) usaremos propriedades de restos (módulo 4 e módulo 5) e o resultado de (a).

Passo 2

Explicação didática sobre a técnica principal (divisão com resto / aritmética modular), necessária para (a) e (b).
Teorema da divisão (forma prática): todo inteiro n pode ser escrito como
n=5q+r
onde q é inteiro e o resto r pertence ao conjunto \{0,1,2,3,4\}. O resto r é o que chamamos de n mod 5.
Para estudar quadrados, a ideia é tomar todos os possíveis restos r e calcular r^{2} mod 5. Isso nos dá todos os possíveis restos que um quadrado pode ter ao dividir por 5. O mesmo raciocínio vale com módulo 10 (restos \{0,1,\dots,9\}) para saber o dígito final.

Passo 3

Demonstração de (a): calcular restos de quadrados módulo 5.
Seja n um inteiro. Escrevemos n=5q+r com r\in\{0,1,2,3,4\}. Então
n^{2}=(5q+r)^{2}=25q^{2}+10qr+r^{2}.
Os termos 25q^{2} e 10qr são múltiplos de 5, então, modulo 5, n^{2} tem o mesmo resto que r^{2}. Logo basta calcular r^{2} para cada r:
  • Para r=0: r^{2}=0, resto 0.
  • Para r=1: r^{2}=1, resto 1.
  • Para r=2: r^{2}=4, resto 4.
  • Para r=3: r^{2}=9\equiv4\pmod{5} (porque 9-4\cdot5= -11 — mais simples: 9-5=4).
  • Para r=4: r^{2}=16\equiv1\pmod{5} (porque 16-3\cdot5=1).
Portanto os restos possíveis de um quadrado módulo 5 são apenas 0,1,4. Observando 4\equiv -1\pmod{5}, concluímos que todo quadrado perfeito é congruente a 0, 1 ou -1 modulo 5. Em forma de múltiplos:
\text{todo quadrado perfeito é da forma }5k,\;5k+1\text{ ou }5k-1.é

Passo 4

Comentário didático sobre a conclusão de (a) e como usar esse tipo de resultado: a propriedade diz que não existe quadrado que deixe resto 2 ou 3 quando dividido por 5. Isso será útil em (c).

Passo 5

Demonstração de (b): quais dígitos finais (algarismos) são possíveis para um quadrado perfeito no sistema decimal.
Para saber o dígito final de n^{2} basta olhar n módulo 10, isto é, escrever n=10q+r com r\in\{0,1,\dots,9\} e calcular r^{2} mod 10. Vamos calcular:
  • r=0: r^{2}=0\Rightarrow dígito 0.
  • r=1: r^{2}=1\Rightarrow dígito 1.
  • r=2: r^{2}=4\Rightarrow dígito 4.
  • r=3: r^{2}=9\Rightarrow dígito 9.
  • r=4: r^{2}=16\Rightarrow dígito 6 (porque 16\equiv6\pmod{10}).
  • r=5: r^{2}=25\Rightarrow dígito 5.
  • r=6: r^{2}=36\Rightarrow dígito 6.
  • r=7: r^{2}=49\Rightarrow dígito 9.
  • r=8: r^{2}=64\Rightarrow dígito 4.
  • r=9: r^{2}=81\Rightarrow dígito 1.
Reunindo os dígitos obtidos, os dígitos finais possíveis são
\{0,1,4,5,6,9\}.
Observação prática: por exemplo 7^{2}=49 termina em 9; 12^{2}=144 termina em 4; 15^{2}=225 termina em 5, etc. Não existem quadrados terminando em 2,3,7 ou 8.

Passo 6

Demonstração da parte sobre múltiplo de 2 em (c) — argumento por paridade com módulo 4 (explicado passo a passo).
Fato útil (símples): quadrados mod 4 só podem ser 0 ou 1. Explicação: se um inteiro m é par, m=2t então m^{2}=4t^{2}\equiv0\pmod{4}. Se m é ímpar, m=2t+1 então m^{2}=4t^{2}+4t+1\equiv1\pmod{4}.
Agora suponha, por contradição, que nenhum entre a,b,c seja múltiplo de 2. Então b e c são ímpares, logo b^{2}\equiv1\pmod{4} e c^{2}\equiv1\pmod{4}. Assim
b^{2}+c^{2}\equiv1+1\equiv2\pmod{4}.
Mas a^{2}=b^{2}+c^{2} significaria a^{2}\equiv2\pmod{4}, o que é impossível pois quadrados modulo 4 só podem ser 0 ou 1. Conclusão: a hipótese de que nenhum é múltiplo de 2 é falsa, logo entre a,b,c há pelo menos um múltiplo de 2.

Passo 7

Demonstração da parte sobre múltiplo de 5 em (c) — usamos o resultado de (a).
Sabemos por (a) que todo quadrado é congruente a 0, 1 ou -1 módulo 5. Suponha, por contradição, que nenhum dos três números a,b,c seja múltiplo de 5. Então a^{2},b^{2},c^{2} são cada um congruentes a 1 ou 4 (isto é, \pm1) módulo 5.
Considere todas as possibilidades para b^{2}+c^{2} módulo 5:
  • 1+1\equiv2\pmod{5}.
  • 1+4\equiv0\pmod{5}.
  • 4+4\equiv8\equiv3\pmod{5}.
Portanto b^{2}+c^{2} pode ser congruente a 2,0 ou 3 módulo 5. Mas a^{2}=b^{2}+c^{2} e, sob a hipótese de que a também não é múltiplo de 5, a^{2} deveria ser 1 ou 4 módulo 5. Nenhum dos valores 2 ou 3 coincide com 1 ou 4. A única possibilidade que bate é b^{2}+c^{2}\equiv0\pmod{5}, o que implicaria a^{2}\equiv0\pmod{5} e portanto a seria múltiplo de 5 — contradizendo a hipótese que nenhum é múltiplo de 5.
Logo a hipótese de que nenhum entre a,b,c é múltiplo de 5 é impossível. Concluímos que entre a,b,c há pelo menos um múltiplo de 5.

Passo 8

Recapitulando os resultados obtidos e incentivando você: conseguimos provar (a) analisando restos modulo 5, aplicar isso para listar os dígitos finais em (b) usando módulo 10, e em (c) combinamos argumentos com módulo 4 (paridade) e módulo 5 (resultado de (a)) para concluir que existe um múltiplo de 2 e um múltiplo de 5 entre a,b,c. Boa! Você já tem as ferramentas básicas (divisão com resto e pequenos cálculos de restos) para aplicar em muitos outros problemas parecidos.

Resposta

(a) Todo quadrado perfeito é da forma 5k, 5k+1 ou 5k-1.
(b) Um quadrado perfeito pode terminar apenas em 0,1,4,5,6 ou 9.
(c) Se a^{2}=b^{2}+c^{2} com a,b,c inteiros positivos, então entre a,b,c há pelo menos um múltiplo de 5 e há pelo menos um múltiplo de 2.

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