Encontre os quatro primeiros elementos da seqüência de somas parciais
, e obtenha uma fórmula para
em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- Encontrar os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais
da série . - Obter uma fórmula geral para
em termos de . - Verificar se a série infinita converge ou diverge; se convergir, encontrar a sua soma.
Informações fornecidas (tiradas diretamente do enunciado):
- O termo geral da série é
para .
Passo 2
Primeiro observar que o termo pode ser escrito como um termo de progressão geométrica na forma padrão
. Vou transformar
:
Aqui reconhecemos:
- o primeiro termo
(quando o termo vale ), - a razão
.
Explicando a ideia: uma série geométrica tem termos
. A soma parcial até
termos é uma soma dos
primeiros termos dessa progressão geométrica.
Passo 3
A fórmula geral para a soma parcial
de uma série geométrica com primeiro termo
e razão
(
) é obtida do truque clássico: escrever
e
e subtrair. Vou mostrar isso passo a passo.
Definindo
Multiplicando por
:
Subtraindo as duas igualdades:
Fatorando
. Como
,
Explicando as variáveis:
é o primeiro termo da sequência de termos da série e
é a razão;
é apenas a potência que aparece na fórmula.
Passo 4
Agora substituo
e
na fórmula:
Calculo o denominador
, portanto ele cancela com o
do numerador:
Isto dá a fórmula fechada para a soma parcial em função de
.
Passo 5
Calcular os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais usando a fórmula encontrada.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Também é possível verificar somando termo a termo:
o que bate com a fórmula.
Passo 6
Determinar convergência da série infinita. Para uma série geométrica com razão
, ela converge se e somente se
. Aqui
e
, logo a série converge.
A soma da série infinita é o limite das somas parciais quando
:
Interpretação final: a série converge e sua soma é
.
Resposta
A série é convergente e sua soma é