Encontre os quatro primeiros elementos da seqüência de somas parciais \left\{s_{n}\right\}, e obtenha uma fórmula para s_{n} em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^{n-1}}{3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • Encontrar os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais \{s_n\} da série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{3^{n}}.
  • Obter uma fórmula geral para s_n em termos de n.
  • Verificar se a série infinita converge ou diverge; se convergir, encontrar a sua soma.
Informações fornecidas (tiradas diretamente do enunciado):
  • O termo geral da série é \displaystyle a_n=\frac{2^{n-1}}{3^{n}} para n=1,2,\dots.

Passo 2

Primeiro observar que o termo pode ser escrito como um termo de progressão geométrica na forma padrão a r^{n-1}. Vou transformar \displaystyle a_n:
\frac{2^{n-1}}{3^{n}}=\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{\,n-1}.
Aqui reconhecemos:
  • o primeiro termo a=\frac{1}{3} (quando n=1 o termo vale \frac{1}{3}),
  • a razão r=\frac{2}{3}.
Explicando a ideia: uma série geométrica tem termos a, ar, ar^2,\dots. A soma parcial até n termos é uma soma dos n primeiros termos dessa progressão geométrica.

Passo 3

A fórmula geral para a soma parcial s_n de uma série geométrica com primeiro termo a e razão r ( r\neq1) é obtida do truque clássico: escrever s_n e r s_n e subtrair. Vou mostrar isso passo a passo.
Definindo
s_n=a+ar+\cdots+ar^{\,n-1}.
Multiplicando por r:
r s_n=ar+ar^2+\cdots+ar^{\,n}.
Subtraindo as duas igualdades:
s_n - r s_n = a - ar^{\,n}.
Fatorando s_n(1-r)=a(1-r^{\,n}). Como r\neq1,
\boxed{\,s_n=\dfrac{a\bigl(1-r^{\,n}\bigr)}{1-r}\,}.
Explicando as variáveis: a é o primeiro termo da sequência de termos da série e r é a razão; r^{\,n} é apenas a potência que aparece na fórmula.

Passo 4

Agora substituo a=\dfrac{1}{3} e r=\dfrac{2}{3} na fórmula:
s_n=\frac{\tfrac{1}{3}\bigl(1-(\tfrac{2}{3})^{n}\bigr)}{1-\tfrac{2}{3}}.
Calculo o denominador 1-\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}, portanto ele cancela com o \tfrac{1}{3} do numerador:
\boxed{\,s_n=1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\,}.
Isto dá a fórmula fechada para a soma parcial em função de n.

Passo 5

Calcular os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais usando a fórmula encontrada.
Para n=1:
s_1=1-\left(\frac{2}{3}\right)^{1}=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}.
Para n=2:
s_2=1-\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}.
Para n=3:
s_3=1-\left(\frac{2}{3}\right)^{3}=1-\frac{8}{27}=\frac{19}{27}.
Para n=4:
s_4=1-\left(\frac{2}{3}\right)^{4}=1-\frac{16}{81}=\frac{65}{81}.
Também é possível verificar somando termo a termo:
\frac{1}{3},\quad \frac{1}{3}+\frac{2}{9}=\frac{5}{9},\quad \frac{5}{9}+\frac{4}{27}=\frac{19}{27},\quad \frac{19}{27}+\frac{8}{81}=\frac{65}{81},
o que bate com a fórmula.

Passo 6

Determinar convergência da série infinita. Para uma série geométrica com razão r, ela converge se e somente se |r|<1. Aqui r=\dfrac{2}{3} e |r|=\dfrac{2}{3}<1, logo a série converge.
A soma da série infinita é o limite das somas parciais quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}s_n=\lim_{n\to\infty}\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\right)=1-0=1.
Interpretação final: a série converge e sua soma é 1.

Resposta

s_1=\dfrac{1}{3}
s_2=\dfrac{5}{9}
s_3=\dfrac{19}{27}
s_4=\dfrac{65}{81}
s_n=1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}
A série é convergente e sua soma é 1.

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