Escreva os quatro primeiros termos da série infinita dada e determine se ela é convergente ou divergente. Se for convergente, obtenha a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{n+1}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Escrever os quatro primeiros termos da série \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{n+1}.
  • Determinar se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, obter a soma.
Informação dada: a série é definida pelo termo geral \displaystyle a_n=\frac{n}{n+1} para n=1,2,3,\dots.

Passo 2

Vamos obter os quatro primeiros termos substituindo n=1,2,3,4 em \displaystyle a_n=\frac{n}{n+1}.
a_1=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}, \qquad a_2=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}, \qquad a_3=\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4}, \qquad a_4=\frac{4}{4+1}=\frac{4}{5}.
Portanto a série começa por
\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\cdots

Passo 3

Regra teórica importante (necessária para convergência): se a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge, então o termo geral satisfaz
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Explicação curta e intuitiva: se \sum a_n converge para um valor finito S, então os somatórios parciais S_N=\sum_{n=1}^N a_n têm limite S. Como a_N=S_N-S_{N-1}, a diferença entre dois somatórios parciais consecutivos tende a 0; logo a_N\to0. Assim, se \lim a_n\neq0, a série não pode convergir.

Passo 4

Calculemos o limite do termo geral \displaystyle a_n=\frac{n}{n+1}:
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\tfrac{1}{n}} = \frac{1}{1+0}=1.
Como \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 1 \neq 0, pela regra do passo anterior a série não pode convergir. Conclusão imediata: a série diverge.

Passo 5

Complemento (mostra o que ocorre com as somas parciais): escrever o termo geral como diferença ajuda a ver que os somatórios crescem sem limite. Observe
\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}.
Somando os primeiros N termos:
S_N=\sum_{n=1}^N\left(1-\frac{1}{n+1}\right) = N - \sum_{n=1}^N\frac{1}{n+1}.
Seja H_{N+1}=\sum_{k=1}^{N+1}\frac{1}{k} (número harmônico). Então \sum_{n=1}^N\frac{1}{n+1}=H_{N+1}-1 e
S_N=(N+1)-H_{N+1}.
Como H_{N+1} cresce muito mais lentamente que N (de fato H_{N+1}\sim\ln(N)), o termo (N+1)-H_{N+1}\to+\infty quando N\to\infty. Ou seja, as somas parciais crescem sem limite — confirmação adicional de que a série diverge (diverge para +\infty).

Resposta

Primeiros quatro termos: \dfrac{1}{2},\\ \dfrac{2}{3},\\ \dfrac{3}{4},\\ \dfrac{4}{5}.\n
Conclusão: Divergente (a série não converge; \lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{n+1}=1\neq0).

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