Escreva os quatro primeiros termos da série infinita dada e determine se ela é convergente ou divergente. Se for convergente, obtenha a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{n+1}
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{n+1}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Escrever os quatro primeiros termos da série
. - Determinar se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, obter a soma.
Informação dada: a série é definida pelo termo geral
para
.
Passo 2
Vamos obter os quatro primeiros termos substituindo
em
.
Portanto a série começa por
Passo 3
Regra teórica importante (necessária para convergência): se a série
converge, então o termo geral satisfaz
Explicação curta e intuitiva: se
converge para um valor finito
, então os somatórios parciais
têm limite
. Como
, a diferença entre dois somatórios parciais consecutivos tende a
; logo
. Assim, se
, a série não pode convergir.
Passo 4
Calculemos o limite do termo geral
:
Como
, pela regra do passo anterior a série não pode convergir. Conclusão imediata: a série diverge.
Passo 5
Complemento (mostra o que ocorre com as somas parciais): escrever o termo geral como diferença ajuda a ver que os somatórios crescem sem limite. Observe
Somando os primeiros
termos:
Seja
(número harmônico). Então
e
Como
cresce muito mais lentamente que
(de fato
), o termo
quando
. Ou seja, as somas parciais crescem sem limite — confirmação adicional de que a série diverge (diverge para
).
Resposta
Primeiros quatro termos:
.\n
Conclusão: Divergente (a série não converge; ).
Conclusão: Divergente (a série não converge;