(1,5 pts) Seja z=z(x, y) uma função definida implicitamente por
z^2 x y+y x=raizz x
Calcule partial zpartial x.

Passo 1

O enunciado dá uma função z=z(x,y) definida implicitamente por
z^2x y + yx = raizz x
O conteúdo é diferenciação implícita para funções de várias variáveis; vamos usar a condição
F(x,y,z)=0 Longrightarrow partial zpartial x=-FxFz,
onde Fx e Fz são as derivadas parciais de F em relação a x e z, respectivamente.

Passo 2

Definimos
F(x,y,z)=z^2x y + yx - raizz x
A fórmula da diferenciação implícita diz que
Fx + Fz,partial zpartial x=0 Longrightarrow partial zpartial x=-FxFz

Passo 3

Calculamos Fx mantendo y e z constantes:
partialpartial xl(z^2x yr)=z^2y, partialpartial x(yx)=y,
partialpartial xl(raizz xr) =12(z x)^-tfrac12cdot z =z2raizz x
Logo,
Fx = z^2y + y - z2raizz x

Passo 4

Agora Fz mantendo x e y constantes:
partialpartial zl(z^2x yr)=2zxy, partialpartial zl(raizz xr) =12(z x)^-tfrac12cdot x =x2raizz x
Portanto,
Fz = 2zxy - x2raizz x

Passo 5

Substituindo na fórmula da implícita,
partial zpartial x =-FxFz =-,z^2y + y - dfracz2raizz x, ,2zxy - dfracx2raizz x,

Resposta

partial zpartial x =-z^2y + y - dfracz2raizz x 2zxy - dfracx2raizz x

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