(1,5 ptos) Calcule o vetor gradiente da função f(x, y)=sin (x y) ln (x+y) em um ponto arbitrário (x, y).

Passo 1

O enunciado pede o vetor gradiente de
f(x,y)=sin(xy),ln(x+y)
em um ponto genérico (x,y). Vamos usar as regras de derivada de produto e de cadeia para obter partial fpartial x e partial fpartial y.

Passo 2

Definimos
u(x,y)=sin(xy), v(x,y)=ln(x+y),
então
f(x,y)=u(x,y),v(x,y)
e o vetor gradiente é
nabla f = l(partial fpartial x,,partial fpartial yr)

Passo 3

Calculando partial fpartial x pela regra do produto:
ux = partialpartial xsin(xy) = cos(xy)cdot y, vx = partialpartial xln(x+y) = 1x+y
Logo,
partial fpartial x = ux,v + u,vx = ycos(xy),ln(x+y) + sin(xy),1x+y

Passo 4

De modo análogo, para partial fpartial y:
uy = partialpartial ysin(xy) = cos(xy)cdot x, vy = partialpartial yln(x+y) = 1x+y
Assim,
partial fpartial y = uy,v + u,vy = xcos(xy),ln(x+y) + sin(xy),1x+y

Resposta

nabla f(x,y) = l( ycos(xy),ln(x+y) + sin(xy)x+y, ;xcos(xy),ln(x+y) + sin(xy)x+y r)

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