Encontre os quatro primeiros elementos da sequência das somas parciais (Sn), e obtenha uma fórmula para Sn em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre a sua soma.
sumn=1^+infty 5(3 n+1)(3 n+2)

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar os quatro primeiros valores de
Sn=sumk=1^n 5(3k+1)(3k+2), depois obter uma expressão geral para Sn e, por fim, decidir se a série infinita converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma.

Passo 2

Para simplificar 5(3k+1)(3k+2) a ideia é fazer fração parcial. A gente busca constantes A e B tais que
5(3k+1)(3k+2)=A3k+1+B3k+2
Multiplicando em cruz e igualando coeficientes, obtemos
A=5 e B=-5. Logo
5(3k+1)(3k+2)=5l(13k+1-13k+2r)

Passo 3

Agora é só somar de k=1 até k=n e pegar n=1,2,3,4:
Para n=1:
S1=5l(14-15r)=5cdot120=14
Para n=2:
S2=S1+5l(17-18r)=14+5cdot156=1956
Para n=3:
S3=S2+5l(110-111r)=1956+5110=237616
Para n=4:
S4=S3+5l(113-114r)=237616+5182=33018008

Passo 4

A fórmula geral de Sn fica então
Sn=5sumk=1^nl(13k+1-13k+2r)
Note que, à medida que ktoinfty, cada termo cai como 59k^2, ou seja, a série infinta converge por comparação com 1/k^2.

Passo 5

Para achar a soma exata usamos propriedades da função digama, mas dá para chegar a um resultado em termos de pi. O valor limite é
sumk=1^infty5(3k+1)(3k+2)=53l(psi(5/3)-psi(4/3)r) =5pi3raiz3-52

Resposta

S1=tfrac14, S2=tfrac1956, S3=tfrac237616, S4=tfrac33018008
Fórmula geral:
Sn=5sumk=1^nl(13k+1-13k+2r)
A série é convergente e sua soma é
sumk=1^infty5(3k+1)(3k+2)=5pi3raiz3-52

Exercícios relacionados