Encontre os quatro primeiros elementos da sequência das somas parciais
, e obtenha uma fórmula para
em termos de
. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para a gente achar os quatro primeiros valores de
, depois obter uma expressão geral para
e, por fim, decidir se a série infinita converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma.
Passo 2
Para simplificar
a ideia é fazer fração parcial. A gente busca constantes
e
tais que
Multiplicando em cruz e igualando coeficientes, obtemos
e
. Logo
Passo 3
Agora é só somar de
até
e pegar
:
Para :
Para
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
A fórmula geral de
fica então
Note que, à medida que
, cada termo cai como
, ou seja, a série infinta converge por comparação com
.
Passo 5
Para achar a soma exata usamos propriedades da função digama, mas dá para chegar a um resultado em termos de
. O valor limite é
Resposta
Fórmula geral:
A série é convergente e sua soma é