Determine o maior valor que pode assumir o volume de um paralelepípedo reto retângulo inscrito no elipsoide x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1, onde a, b e c são constantes reais positivas. Utilize o resultado encontrado para concluir que quando a=b=c, então o volume máximo ocorre quando o paralelepípedo é, de fato, um cubo.
Prove porque é máximo

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o maior volume possível de um paralelepípedo (aquele “caixote” retangular) que está dentro de um elipsoide dado pela equação x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1. A matéria que a gente vai usar aqui envolve geometria analítica e cálculo, especialmente otimização usando derivadas. Precisaremos entender como maximizar funções sujeitas a restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um paralelepípedo inscrito nesse elipsoide. Isso significa que todos os vértices do paralelepípedo estão dentro do elipsoide. Se considerarmos que o paralelepípedo é simétrico em relação aos eixos, podemos representar as coordenadas dos vértices como (pm x, pm y, pm z). Assim, a equação do elipsoide nos dá a relação:
x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2 = 1

Passo 3

O volume V do paralelepípedo é dado por:
V = 8xyz
Isso porque o comprimento, largura e altura são 2x, 2y e 2z respectivamente (considerando que estamos medindo a partir do centro até os vértices).

Passo 4

Nosso objetivo é maximizar V = 8xyz sujeito à restrição do elipsoide x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2 = 1. Para isso, podemos usar o método de Lagrange, que nos ajuda a encontrar os máximos e mínimos de uma função com restrições.

Passo 5

Definimos a função Lagrangiana:
L(x, y, z, lambda) = 8xyz - lambda ( x^2a^2 + y^2b^2 + z^2c^2 - 1 )
Aqui, lambda é o multiplicador de Lagrange.

Passo 6

Vamos encontrar as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a x, y, z e lambda, e igualar a zero:
  1. partial Lpartial x = 8yz - lambda cdot 2xa^2 = 0
  2. partial Lpartial y = 8xz - lambda cdot 2yb^2 = 0
  3. partial Lpartial z = 8xy - lambda cdot 2zc^2 = 0
  4. partial Lpartial lambda = x^2a^2 + y^2b^2 + z^2c^2 - 1 = 0

Passo 7

Vamos resolver as primeiras três equações para encontrar relações entre x, y, z e lambda:
  1. 8yz = lambda cdot 2xa^2 Rightarrow lambda = 8a^2yz2x = 4a^2yzx
  2. 8xz = lambda cdot 2yb^2 Rightarrow lambda = 8b^2xz2y = 4b^2xzy
  3. 8xy = lambda cdot 2zc^2 Rightarrow lambda = 8c^2xy2z = 4c^2xyz

Passo 8

Como todas as expressões para lambda são iguais, podemos igualá-las entre si:
4a^2yzx = 4b^2xzy = 4c^2xyz
Podemos simplificar eliminando o 4:
a^2yzx = b^2xzy = c^2xyz

Passo 9

Vamos igualar os dois primeiros termos:
a^2yzx = b^2xzy
Multiplicando ambos os lados por xy:
a^2y^2z = b^2x^2z
Dividindo por z (assumindo z neq 0):
a^2y^2 = b^2x^2 Rightarrow y = bax

Passo 10

De forma semelhante, igualando os dois últimos termos:
b^2xzy = c^2xyz
Multiplicando por yz:
b^2x z^2 = c^2x y^2
Dividindo por x (assumindo x neq 0):
b^2 z^2 = c^2 y^2
Substituindo y = bax:
b^2 z^2 = c^2 ( bax )^2 = c^2 b^2a^2x^2
Simplificando:
z = cax

Passo 11

Agora temos que y = bax e z = cax. Vamos substituir isso na equação do elipsoide:
x^2a^2 + ( bax )^2b^2 + ( cax )^2c^2 = 1
Simplificando cada termo:
x^2a^2 + b^2x^2a^2b^2 + c^2x^2a^2c^2 = x^2a^2 + x^2a^2 + x^2a^2 = 3x^2a^2 = 1

Passo 12

Resolvendo para x:
3x^2a^2 = 1 Rightarrow x^2 = a^23 Rightarrow x = araiz3
Então:
y = bax = ba cdot araiz3 = braiz3
z = cax = ca cdot araiz3 = craiz3

Passo 13

Agora, substituímos x, y, z no volume V = 8xyz:
V = 8 cdot araiz3 cdot braiz3 cdot craiz3 = 8 cdot abc3raiz3 = 8abc3raiz3

Passo 14

Esse é o volume máximo que o paralelepípedo pode ter dentro do elipsoide. Agora, vamos ver o que acontece quando a = b = c.
Se a = b = c, o elipsoide se torna uma esfera com raio a. E o volume máximo:
V = 8a cdot a cdot a3raiz3 = 8a^33raiz3
Isso corresponde ao volume de um cubo com aresta 2araiz3, confirmando que o paralelepípedo de volume máximo é um cubo quando a = b = c.

Resposta

O maior volume possível do paralelepípedo inscrito no elipsoide é 8abc3raiz3. Quando a = b = c, esse volume máximo ocorre precisamente quando o paralelepípedo é um cubo, comprovando que a configuração cúbica é a que maximiza o volume nesse caso.

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