Determine o maior valor que pode assumir o volume de um paralelepípedo reto retângulo inscrito no elipsoide
, onde
e
são constantes reais positivas. Utilize o resultado encontrado para concluir que quando
, então o volume máximo ocorre quando o paralelepípedo é, de fato, um cubo.
Prove porque é máximo
Prove porque é máximo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o maior volume possível de um paralelepípedo (aquele “caixote” retangular) que está dentro de um elipsoide dado pela equação
. A matéria que a gente vai usar aqui envolve geometria analítica e cálculo, especialmente otimização usando derivadas. Precisaremos entender como maximizar funções sujeitas a restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um paralelepípedo inscrito nesse elipsoide. Isso significa que todos os vértices do paralelepípedo estão dentro do elipsoide. Se considerarmos que o paralelepípedo é simétrico em relação aos eixos, podemos representar as coordenadas dos vértices como
. Assim, a equação do elipsoide nos dá a relação:
Passo 3
O volume
do paralelepípedo é dado por:
Isso porque o comprimento, largura e altura são
,
e
respectivamente (considerando que estamos medindo a partir do centro até os vértices).
Passo 4
Nosso objetivo é maximizar
sujeito à restrição do elipsoide
. Para isso, podemos usar o método de Lagrange, que nos ajuda a encontrar os máximos e mínimos de uma função com restrições.
Passo 5
Definimos a função Lagrangiana:
Aqui,
é o multiplicador de Lagrange.
Passo 6
Vamos encontrar as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a
,
,
e
, e igualar a zero:
Passo 7
Vamos resolver as primeiras três equações para encontrar relações entre
,
,
e
:
Passo 8
Como todas as expressões para
são iguais, podemos igualá-las entre si:
Podemos simplificar eliminando o 4:
Passo 9
Vamos igualar os dois primeiros termos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo por
(assumindo
):
Passo 10
De forma semelhante, igualando os dois últimos termos:
Multiplicando por
:
Dividindo por
(assumindo
):
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 11
Agora temos que
e
. Vamos substituir isso na equação do elipsoide:
Simplificando cada termo:
Passo 12
Resolvendo para
:
Então:
Passo 13
Agora, substituímos
,
,
no volume
:
Passo 14
Esse é o volume máximo que o paralelepípedo pode ter dentro do elipsoide. Agora, vamos ver o que acontece quando
.
Se
, o elipsoide se torna uma esfera com raio
. E o volume máximo:
Isso corresponde ao volume de um cubo com aresta
, confirmando que o paralelepípedo de volume máximo é um cubo quando
.
Resposta
O maior volume possível do paralelepípedo inscrito no elipsoide é
. Quando
, esse volume máximo ocorre precisamente quando o paralelepípedo é um cubo, comprovando que a configuração cúbica é a que maximiza o volume nesse caso.