Encontre os quatro primeiros termos não nulos da série de potência em torno de chi=0 da solução geral da equação diferencial.
-(x^2+1) y^prime prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências em torno de x=0 da solução geral da EDO
-(x^2+1),y''+y=0,
ou seja, equivalentemente,
y''=y1+x^2
O método é assumir
y(x)=sumn=0^inftyanx^n,
desenvolver y'' e a série de tfrac11+x^2 e igualar coeficientes de potências de x.

Passo 2

Calculamos
y''(x)=sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2,x^n,
e
11+x^2=sumk=0^infty(-1)^kx^2k
Logo
y1+x^2 =l(sumn=0^inftyanx^nr) l(sumk=0^infty(-1)^kx^2kr) =sumn=0^inftyl(sumk=0^lfloor n/2rfloor(-1)^ka,n-2kr)x^n
Igualando coeficientes de x^n em y''=y/(1+x^2) vem a relação de recorrência
(n+2)(n+1),an+2 =sumk=0^lfloor n/2rfloor(-1)^ka,n-2k

Passo 3

Como a0 e a1 são livres, geram duas séries independentes (par e ímpar).
Para os índices pares ( n=0,2,4,6) obtemos
a2=a02, a4=-a024, a6=11,a0720,;dots
Para os índices ímpares ( n=1,3,5,7) obtemos
a3=a16, a5=-a124, a7=19,a11008,;dots

Passo 4

As duas soluções fundamentais são
y1(x) =1+x^22-x^424+11,x^6720+cdots,
y2(x) =x+x^36-x^524+19,x^71008+cdots
A solução geral é
y(x)=C1,y1(x)+C2,y2(x)

Resposta

y(x) = C1l(1+tfracx^22-tfracx^424+tfrac11,x^6720+cdotsr) + C2l(x+tfracx^36-tfracx^524+tfrac19,x^71008+cdotsr)

Exercícios relacionados