Encontre os quatro primeiros termos não nulos da série de potências para a solução do problema de valor inicial.
-\left(x^{2}+1\right) y^{\prime \prime}-e^{*} y^{\prime}+y=0 ; y(0)=1 ; y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
-(x^2+1),y''-e,y'+y=0,
com condições y(0)=1 e y'(0)=1.
O conteúdo aqui é solução por série de potências centrada em x=0.

Passo 2

Assumimos
y(x)=sumn=0^inftyanx^n, y'(x)=sumn=1^inftyn,anx^n-1, y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1),anx^n-2

Passo 3

Substituindo na EDO e recolhendo a potência x^n, obtemos
-(1+x^2)y''-e,y'+y =-sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n -sumn=0^infty n(n-1)anx^n -esumn=0^infty(n+1)an+1x^n +sumn=0^infty anx^n =0
Isto leva à relação de recorrência
(n+2)(n+1)an+2 =-n(n-1)an -e,(n+1)an+1 +an,
válida para todo n>=0.

Passo 4

Das condições iniciais temos
a0=y(0)=1, a1=y'(0)=1
Para n=0:
2cdot1,a2 = -0cdot(-1)a0 -ecdot1,a1 +a0 =1 -e Longrightarrow a2=1-e2
Para n=1:
3cdot2,a3 =-1cdot0,a1 -ecdot2,a2 +a1 =1-2e,a2 =1-e(1-e) Longrightarrow a3=e^2-e+16

Resposta

Os quatro primeiros termos não nulos da série são
y(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+cdots =1+x+1-e2,x^2+e^2-e+16,x^3+cdots ,

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