Encontre os quatro primeiros termos não nulos da série de potências para a solução do problema de valor inicial.
-y^prime prime-(sen x) y=0 ; y(pi)=1 ; y^prime(pi)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução em série de potências de
y'' + sin(x),y = 0
com as condições y(pi)=1 e y'(pi)=0.
O método é expandir y em torno de x0=pi e também expandir sin(x) em potências de t=x-pi.

Passo 2

Defina t = x-pi e procure
y(x)=sumn=0^inftyan,t^n
Como
sin(x)=sin(pi+t)=-sin t=-t+t^36-t^5120+cdots,
temos
y''=sumn=0^infty (n+2)(n+1),an+2,t^n,
e
sin(x),y =l(-t+tfract^36-tfract^5120+cdotsr) sumn=0^infty an,t^n =sumk=0^inftyl(-ak-1+tfracak-36-tfracak-5120+cdotsr)t^k,
onde am=0 para m<0.

Passo 3

Substituindo na ODE
y''+sin(x),y=0 Longrightarrow sumk=0^inftyl[(k+2)(k+1)ak+2-ak-1+tfracak-36-tfracak-5120+cdotsr]t^k=0
Daí obtemos a recorrência genérica
ak+2 =ak-1-tfracak-36+tfracak-5120-cdots(k+2)(k+1)

Passo 4

Use as condições iniciais em t=0:
a0=y(pi)=1, a1=y'(pi)=0
Agora calculemos os termos até aparecerem quatro coeficientes não nulos:
k=0: (2cdot 1)a2=0; implies a2=0
k=1: (3cdot 2)a3 - a0=0; implies 6a3 - 1=0; implies a3=tfrac16
k=2: (4cdot 3)a4 - a1=0; implies a4=0
k=3: (5cdot 4)a5 - a2 + tfraca06=0; implies 20a5 + tfrac16=0; implies a5 = -tfrac1120
k=4: (6cdot 5)a6 - a3=0; implies 30a6 - tfrac16=0; implies a6=tfrac1180
Os quatro primeiros an neq 0 são a0, a3, a5, a6.

Resposta

Os quatro primeiros termos não nulos da série de potências são
y(x)=1 +(x-pi)^36 -(x-pi)^5120 +(x-pi)^6180 +cdots

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