(1,5 pts) Calcule integral duplaS(rot F cdot n) d S onde F(x, y, z)=(2 x y, 0,-x z) e S é a parte inferior da superfície x^24+y^29+z^216=1, com z >= 0 e a normal exterior.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
integral duplaS(rotvec Fcdotvec n),dS
onde vec F(x,y,z)=(2xy,0,-xz) e S é a “tampa” superior da elipsoide
x^24+y^29+z^216=1, z>=0,
com a normal exterior. Vamos usar o Teorema de Stokes para transformar essa integral de superfície numa integral de linha ao longo da curva de contorno de S.

Passo 2

Calculamos primeiro o rotacional de vec F:
rotvec F =nablatimesvec F = vec i & vec j & vec k partialx & partialy & partialz 2xy & 0 & -xz =(0,;z,;-2x)

Passo 3

Pelo Teorema de Stokes temos
integral duplaS(rotvec Fcdotvec n),dS =ointpartial Svec Fcdot dvec r,
onde partial S é a curva de interseção de S com o plano z=0, dada por
x^24+y^29=1,
orientada no sentido anti-horário quando vista do eixo +z (pois a normal exterior em S tem componente positiva em z).

Passo 4

Parametrizamos partial S por
x=2cos t, y=3sin t, z=0, tin[0,2pi]
Então
dvec r=(dx,dy,dz)=(-2sin t,;3cos t,;0),dt
e
vec F|z=0=(2xy,0,0) =(2cdot2cos tcdot3sin t,0,0) =(12cos tsin t,0,0)
Logo
vec Fcdot dvec r =12cos tsin t,(-2sin t),dt =-24cos tsin^2t,dt

Passo 5

Basta agora integrar em t:
ointpartial Svec Fcdot dvec r =integral0^2pi-24cos tsin^2t,dt
Usando sin^2t=tfrac1-cos2t2 nota-se que cada termo de cos t ou cos tcos2t integra zero em [0,2pi]. Portanto
integral0^2pi-24cos tsin^2t,dt=0

Resposta

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