(2,0 pts) Calcule integral duplaS(F cdot n) d S, onde S é a porção do parabolóide z=x^2+y^2, compreendida entre os planos z=0 e 2 x+z=1, com normal exterior e F(x, y, z)=(2 x-1,2 y+1,2 z-5).

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
integral duplaS(Fcdot n),dS
onde S é a parte do paraboloide z=x^2+y^2 entre z=0 e o plano 2x+z=1, com vec F(x,y,z)=(2x-1,,2y+1,,2z-5).
O conteúdo é integral de superfície de fluxo, que vamos resolver parametrizando o paraboloide e escolhendo o normal correto.

Passo 2

Parametrizamos o paraboloide por
r(x,y)=l(x,;y,;x^2+y^2r),
onde o domínio D em xy é dado por
0<= z=x^2+y^2<= 1-2x Longrightarrow x^2+y^2<=1-2x Long<=ftrightarrow (x+1)^2+y^2<=2

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes e o “pseudo–normal”
rx=(1,0,2x), ry=(0,1,2y),
rxtimes ry =l(-2x,,-2y,,1r)

Passo 4

Em S temos z=x^2+y^2, logo
vec Fl(x,y,x^2+y^2r)=(2x-1,;2y+1,;2(x^2+y^2)-5).
O produto escalar com rxtimes ry é
vec Fcdot( rxtimes ry) =(2x-1)(-2x)+(2y+1)(-2y)+l(2(x^2+y^2)-5r)cdot1 =-2(x^2+y^2)+2(x-y)-5

Passo 5

Como a região interna E está acima de S, o normal exterior a E em S é -( rxtimes ry). Assim o fluxo é
integral duplaSvec Fcdot n,dS =-integral duplaDvec Fcdot( rxtimes ry),dx,dy =integral duplaDl[2(x^2+y^2)-2(x-y)+5r],dx,dy

Passo 6

Fazemos o cambio u=x+1, v=y, de modo que D vira o disco u^2+v^2<=2. Nesse disco
x^2+y^2=(u-1)^2+v^2, x-y=(u-1)-v,
logo o integrando se torna
2l[(u-1)^2+v^2r] -2l[(u-1)-vr]+5 =2u^2+2v^2-6u+2v+9

Passo 7

Usando coordenadas polares u=rcostheta, v=rsintheta, 0<= r<=raiz2, 0<=theta<=2pi, e jacobiano r, o fluxo é
integral0^2pi!!integral0^raiz2 l(2r^2-6rcostheta+2rsintheta+9r),r,dr,dtheta
Separando em termos e integrando em theta e r obtemos
4pi+18pi=22pi

Resposta

22pi

Exercícios relacionados