(2,0 pts) Calcule
, onde
é a porção do parabolóide
, compreendida entre os planos
e
, com normal exterior e
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo
onde
é a parte do paraboloide
entre
e o plano
, com
.
O conteúdo é integral de superfície de fluxo, que vamos resolver parametrizando o paraboloide e escolhendo o normal correto.
O conteúdo é integral de superfície de fluxo, que vamos resolver parametrizando o paraboloide e escolhendo o normal correto.
Passo 2
Parametrizamos o paraboloide por
onde o domínio
em
é dado por
Passo 3
Calculamos os vetores tangentes e o “pseudo–normal”
Passo 4
Em
temos
, logo
.
O produto escalar com é
O produto escalar com
Passo 5
Como a região interna
está acima de
, o normal exterior a
em
é
. Assim o fluxo é
Passo 6
Fazemos o cambio
,
, de modo que
vira o disco
. Nesse disco
logo o integrando se torna
Passo 7
Usando coordenadas polares
,
,
,
, e jacobiano
, o fluxo é
Separando em termos e integrando em
e
obtemos