Encontre os quatro primeiros termos não nulos da série de potências em torno de chi=0 da solução do problema de valor inicial y^4+y^prime-x y=0 ; y(0)=1 ; y^prime(0)=-2

Passo 1

O problema é achar a solução em série de potências centrada em x=0 para a EDO
y^(4)+y' - x,y = 0
sujeita a y(0)=1 e y'(0)=-2. O objetivo é obter os quatro primeiros termos não nulos de
y(x)=sumn=0^infty an,x^n

Passo 2

Supondo
y(x)=sumn=0^infty an,x^n, y'(x)=sumn=0^infty (n+1)an+1,x^n, y^(4)(x)=sumn=0^infty (n+4)(n+3)(n+2)(n+1),an+4,x^n,
e também
x,y(x)=sumn=0^infty an-1,x^n, a-1=0

Passo 3

Substituindo na EDO e igualando o coeficiente de x^n a zero dá a recorrência
(n+4)(n+3)(n+2)(n+1),an+4 ;+;(n+1),an+1;-;an-1;=;0

Passo 4

Das condições iniciais temos
a0=y(0)=1, a1=y'(0)=-2
Faltam a2 e a3, pois a EDO de 4ª ordem pede quatro dados, mas só temos dois. Para obter uma solução particular escolhemos
a2=0, a3=0

Passo 5

Agora calculamos os próximos coeficientes não nulos:
  • Para n=0:
4cdot3cdot2cdot1,a4 + 1cdot a1 = 0 ;Longrightarrow;24,a4 -2=0 ;Longrightarrow;a4=tfrac112
  • Para n=1:
5cdot4cdot3cdot2,a5 + 2,a2 - a0=0 ;Longrightarrow;120,a5 -1=0 ;Longrightarrow;a5=tfrac1120

Passo 6

Os termos não nulos até o grau em que aparecem quatro deles são, em ordem crescente de grau:
a0=1, a1=-2, a4=tfrac112, a5=tfrac1120

Resposta

y(x)=1 ;-;2,x ;+;112,x^4 ;+;1120,x^5 ;+;cdots

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