Encontre os quatro primeiros termos não nulos da série de potências em torno de
da solução geral da equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede para achar a solução geral de (x²+1)y’’+y=0 em série de potências em torno de x=0. Vamos usar o método de série, que envolve supor y=
, encontrar y’’ e impor a equação para obter uma relação de recorrência entre os coeficientes a_n.
Passo 2
Compute y’’ a partir de y=
. Temos
Substituindo em (1+x²)y’’+y=0 dá
Reindexando a primeira soma (m=n-2) e somando as que têm x^m gera a equação de coeficientes.
Passo 3
Igualando o coeficiente de x^m a zero obtemos para m≥0
o que dá a recorrência
Passo 4
Para obter os quatro primeiros termos não nulos, calculamos:
Para m=0: a_2=-\frac{0·(-1)+1}{2·1}a_0=-\tfrac12a_0.
Para m=1: a_3=-\frac{1·0+1}{3·2}a_1=-\tfrac16a_1.
Para m=0: a_2=-\frac{0·(-1)+1}{2·1}a_0=-\tfrac12a_0.
Para m=1: a_3=-\frac{1·0+1}{3·2}a_1=-\tfrac16a_1.
Passo 5
Assim, os primeiros quatro termos (n=0,1,2,3) da solução geral são: