Encontre os quatro primeiros termos não nulos da série de potências em torno de x=0 da solução geral da equação diferencial (x^2+1) y^prime prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede para achar a solução geral de (x²+1)y’’+y=0 em série de potências em torno de x=0. Vamos usar o método de série, que envolve supor y=
sumn=0^inftyan x^n
, encontrar y’’ e impor a equação para obter uma relação de recorrência entre os coeficientes a_n.

Passo 2

Compute y’’ a partir de y= sumn=0^infty an x^n. Temos
y''=sumn=2^infty n(n-1)an x^n-2
Substituindo em (1+x²)y’’+y=0 dá
sumn=2^infty n(n-1)an x^n-2+sumn=2^infty n(n-1)an x^n+sumn=0^infty an x^n=0
Reindexando a primeira soma (m=n-2) e somando as que têm x^m gera a equação de coeficientes.

Passo 3

Igualando o coeficiente de x^m a zero obtemos para m≥0
(m+2)(m+1)am+2+[m(m-1)+1]am=0
o que dá a recorrência
am+2=-m(m-1)+1(m+2)(m+1),am

Passo 4

Para obter os quatro primeiros termos não nulos, calculamos:
Para m=0: a_2=-\frac{0·(-1)+1}{2·1}a_0=-\tfrac12a_0.
Para m=1: a_3=-\frac{1·0+1}{3·2}a_1=-\tfrac16a_1.

Passo 5

Assim, os primeiros quatro termos (n=0,1,2,3) da solução geral são:
y(x)=a0 + a1 x - tfraca02x^2 - tfraca16x^3 + dots

Resposta

y(x)=a0 + a1 x - a02x^2 - a16x^3 + dots

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