Calcule as integrais trigonométricas a seguir.
integral tg x sec ^4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral tan x,sec^4 x,dx. Isso envolve integração de funções trigonométricas e vamos usar a derivada de sec x junto com o método de substituição.

Passo 2

Reescrevemos o integrando de forma a destacar sec xtan x,dx, pois é a derivada de sec x. Assim,
tan x,sec^4 x,dx = sec^3 x cdot (sec xtan x,dx)
Como sabemos que dfracddx(sec x)=sec xtan x, fazemos a substituição u=sec x. Então
du = sec xtan x,dx

Passo 3

A integral fica
integral sec^3 x,(sec xtan x,dx) = integral u^3,du
Integramos u^3:
integral u^3,du = u^44 + C
Finalmente, voltamos para x usando u=sec x:
u^44 + C = sec^4 x4 + C

Resposta

sec^4 x4 + C

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