Verifique se a equação é exata e, se for, resolva: (e^x+y) d x+(2+x+y e^y) d y=0 com y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial (e^x+y),dx + (2 + x + y e^y),dy = 0 é exata e, caso seja, resolver com a condição inicial y(0)=1. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas: vamos precisar calcular derivadas parciais e encontrar uma função potencial cuja diferencial total reproduza a equação.

Passo 2

Identificamos M(x,y)=e^x+y e N(x,y)=2 + x + y e^y. Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=1, partial Npartial x=1
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função potencial phi(x,y) tal que phix=M e phiy=N. Integramos M em relação a x:
phi(x,y)=integral (e^x+y),dx = e^x + x y + h(y),onde h(y) é uma função a determinar.
Derivamos phi em relação a y e igualamos a N:
phiy = x + h'(y) stackrel!= 2 + x + y e^yLogo,
h'(y)=2 + y e^y

Passo 4

Integramos h'(y) em relação a y:
h(y)=integral (2 + y e^y),dy = 2y + (y-1)e^y + C1Assim a função potencial geral é
phi(x,y)=e^x + x y + 2y + (y-1)e^y

Passo 5

A solução implícita da equação é
phi(x,y)=CUsamos a condição inicial y(0)=1:
phi(0,1)=e^0 + 0cdot1 + 2cdot1 + (1-1)e^1 = 1 + 0 + 2 + 0 = 3,logo C=3.

Resposta

e^x + x y + 2y + (y-1)e^y = 3

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