Encontre os quatro primeiros termos não nulos da série de potências em torno de
da solução geral da equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os quatro primeiros termos não nulos da série de potências, centrada em
, da solução geral da equação diferencial
. A matéria que vamos usar aqui é equações diferenciais lineares e séries de potências. Para resolver, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais de primeira ordem e como expandir funções em séries de potências usando o Teorema de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem da forma
, onde
. Para resolver, usamos o método do fator integrante.
O fator integrante
é dado por:
Passo 3
Multiplicamos a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Portanto, a solução geral é:
Passo 4
Agora, vamos expandir
em uma série de potências centrada em
. Podemos separar os expoentes:
Sabemos que:
E:
Multiplicando essas duas séries e considerando apenas os termos até
:
Simplificando:
Multiplicando pela constante
, que pode ser ajustada para simplificar, temos os quatro primeiros termos não nulos da solução.
Resposta
A série de potências da solução geral, centrada em
, com os quatro primeiros termos não nulos é:
Onde
é uma constante arbitrária.