Encontre os quatro primeiros termos não nulos da série de potências em torno de x=0 da solução geral da equação diferencial y^prime+(x+2) y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os quatro primeiros termos não nulos da série de potências, centrada em , da solução geral da equação diferencial . A matéria que vamos usar aqui é equações diferenciais lineares e séries de potências. Para resolver, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais de primeira ordem e como expandir funções em séries de potências usando o Teorema de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial mu(x) = e^integral P(x)dx = e^integral (x + 2)dx = e^x^22 + 2x . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem da forma , onde . Para resolver, usamos o método do fator integrante.
O fator integrante é dado por:

Passo 3

Multiplicamos a equação diferencial pelo fator integrante:
e^x^22 + 2x y' + e^x^22 + 2x (x + 2)y = 0
Isso simplifica para:
ddx(e^x^22 + 2x y) = 0
Integrando ambos os lados:
e^x^22 + 2x y = C
Onde y = C e^-x^22 - 2x é a constante de integração. Portanto, a solução geral é:

Passo 4

Agora, vamos expandir e^-x^22 cdot e^-2x em uma série de potências centrada em e^-2x = 1 - 2x + (2x)^22! - (2x)^33! + dots = 1 - 2x + 2x^2 - 43x^3 + dots . Podemos separar os expoentes:
e^-x^22 = 1 - x^22 + (x^22)^22! - (x^22)^33! + dots = 1 - x^22 + x^48 - dots
Sabemos que:
(1 - 2x + 2x^2 - 43x^3)(1 - x^22) approx 1 - 2x + (2x^2 - x^22) - 43x^3 + dots
E:
1 - 2x + 3x^22 - 43x^3 + dots
Multiplicando essas duas séries e considerando apenas os termos até :
Simplificando:
Multiplicando pela constante , que pode ser ajustada para simplificar, temos os quatro primeiros termos não nulos da solução.

Resposta

A série de potências da solução geral, centrada em y = C(1 - 2x + 32x^2 - 43x^3) , com os quatro primeiros termos não nulos é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados