Encontre os quatro primeiros termos não nulos da série de potências em torno de
da solução geral da equação diferencial.
-y^{\prime}-x y=\operatorname{sen} x
-y^{\prime}-x y=\operatorname{sen} x
Passo 1
O enunciado pede os quatro primeiros termos não nulos da série de potências em torno de
(isto é,
) da solução geral da equação diferencial
O conteúdo é o método de séries de potências para uma EDO linear de primeira ordem. Vamos assumir
e determinar os coeficientes
.
Passo 2
Primeiro escrevemos as séries de
, de
e de
:
A EDO
fica então
Passo 3
Igualando coeficientes de
em ambos os lados, para
vem
e para
obtemos a recorrência
onde
é o coeficiente de
em
, ou seja
se
é par e
.
Passo 4
Usando
como constante arbitrária, calculamos sucessivamente:
n :
.
n .
n :
.
n .
n :
.
n .
n
n
n
n
n
n
Os quatro primeiros termos não nulos são, pois,
,
,
e
.
Resposta
onde
é a constante de integração.