Encontre os quatro primeiros termos não nulos da série de potências em torno de x=c da solução geral da equação diferencial.
-y^{\prime}-x y=\operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede os quatro primeiros termos não nulos da série de potências em torno de x=0 (isto é, c=0) da solução geral da equação diferencial
-y' - x,y = sin x
O conteúdo é o método de séries de potências para uma EDO linear de primeira ordem. Vamos assumir
y(x)=sumn=0^inftyanx^n
e determinar os coeficientes an.

Passo 2

Primeiro escrevemos as séries de y, de y' e de x,y:
y(x)=sumn=0^inftyanx^n, y'(x)=sumn=1^inftyn,anx^n-1, x,y(x)=sumn=1^inftyan-1x^n
A EDO y' + x,y = -sin x fica então
sumn=0^infty(n+1)an+1x^n ;+;sumn=1^inftyan-1x^n ;=; -sumk=0^infty(-1)^k(2k+1)!,x^2k+1

Passo 3

Igualando coeficientes de x^n em ambos os lados, para n=0 vem
1cdot a1=0Longrightarrow a1=0,
e para n>=1 obtemos a recorrência
(n+1),an+1+an-1=bn,
onde bn é o coeficiente de x^n em -sin x, ou seja bn=0 se n é par e b2k+1=(-1)^k+1/(2k+1)!.

Passo 4

Usando a0 como constante arbitrária, calculamos sucessivamente:
n =1: a1=0.
n =1 to a2=(b1-a0)/2=(-1 - a0)/2=-(1+a0)/2.
n =2: a3=0.
n =3 to a4=(b3-a2)/4=l(tfrac16 +tfrac1+a02r)/4=(4+3a0)/24.
n =4: a5=0.
n =5 to a6=(b5-a4)/6=l(-tfrac1120 -tfrac4+3a024r)/6=-(7+5a0)/240.
Os quatro primeiros termos não nulos são, pois, a0, a2, a4 e a6.

Resposta

y(x)=a0 ;-;1+a02,x^2 ;+;4+3a024,x^4 ;-;7+5a0240,x^6 ;+;cdots,
onde a0 é a constante de integração.

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