Questão 8 Resolva as inequações:
x^3-x>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
x^3-x>0
O conteúdo aqui é inequações polinomiais. Vamos precisar fatorar o polinômio e usar análise de sinais nos fatores para encontrar onde o produto é positivo.

Passo 2

Primeiro fatoramos a expressão:
x^3-x = x,(x^2-1) = x,(x-1),(x+1)

Passo 3

Os zeros de x,(x-1),(x+1) são x=-1, x=0 e x=1. Esses pontos dividem a reta real em quatro intervalos:
-infty<x<-1, -1<x<0, 0<x<1 e x>1.
Em cada intervalo, analisamos o sinal de cada fator:
  • Para x<-1:
    x<0, x-1<0, x+1<0 Rightarrow produto negativo.
  • Para -1<x<0:
    x<0, x-1<0, x+1>0 Rightarrow ;(-)times(-)times(+)=+.
  • Para 0<x<1:
    x>0, x-1<0, x+1>0 Rightarrow (+)times(-)times(+)=-.
  • Para x>1:
    x>0, x-1>0, x+1>0 Rightarrow (+)times(+)times(+)=+.

Passo 4

Queremos x,(x-1),(x+1)>0, ou seja, os intervalos onde o produto é positivo. Pelos sinais acima, isso ocorre em
-1<x<0 e x>1

Resposta

(-1,0);cup;(1,infty)

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