Em cada item abaixo as inequações descrevem um sólido cujo volume é dado por
Faça um esboço do sólido e calcule seu volume.
Passo 1
Temos um sólido E definido pela inequação . O conteúdo principal é volume por integral tripla e mudança de variáveis para transformar um elipsoide em esfera.
Passo 2
Para esboçar o elipsoide, note que ele está centrado na origem e intercepta os eixos nos pontos , e . As seções transversais paralelas ao plano são elipses cujos eixos variam de acordo com .
Passo 3
Para facilitar o cálculo do volume, fazemos a mudança de variáveis
que leva o elipsoide na região
e o determinante da jacobiana é
Passo 4
A integral do volume fica
V(E) = integral triplaEdx,dy,dz = integral triplau^2+v^2+w^2<=1 |J|,du,dv,dw = a,b,c,integral triplau^2+v^2+w^2<=1du,dv,dw
Sabendo que o volume da esfera unitária em R^3 é tfrac43pi, concluímos o valor do volume.
Passo 5
Portanto, o volume do elipsoide é dado por V(E)=tfrac43pi,a,b,c.