Em cada item abaixo as inequações descrevem um sólido E cujo volume é dado por
V(E)=integral triplaB d x d y d z
Faça um esboço do sólido e calcule seu volume.
x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2 <= 1(a, b, c>0)

Passo 1

Temos um sólido E definido pela inequação x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2<=1. O conteúdo principal é volume por integral tripla e mudança de variáveis para transformar um elipsoide em esfera.

Passo 2

Para esboçar o elipsoide, note que ele está centrado na origem e intercepta os eixos nos pontos (pm a,0,0), (0,pm b,0) e (0,0,pm c). As seções transversais paralelas ao plano xy são elipses cujos eixos variam de acordo com z.

Passo 3

Para facilitar o cálculo do volume, fazemos a mudança de variáveis
x = a,u, y = b,v, z = c,w
que leva o elipsoide na região
u^2+v^2+w^2<=1
e o determinante da jacobiana é
J = |partial(x,y,z)partial(u,v,w)| = a,b,c

Passo 4

A integral do volume fica
V(E) = integral triplaEdx,dy,dz = integral triplau^2+v^2+w^2<=1 |J|,du,dv,dw = a,b,c,integral triplau^2+v^2+w^2<=1du,dv,dw
Sabendo que o volume da esfera unitária em R^3 é tfrac43pi, concluímos o valor do volume.

Passo 5

Portanto, o volume do elipsoide é dado por V(E)=tfrac43pi,a,b,c.

Resposta

V(E)=\frac{4}{3}\pi,a,b,c

Exercícios relacionados