Use coord. esféricas para calcular integral triplaE f(x, y, z) d V, onde f e o sólido E são:
f(x, y, z)=(x^2+y^2+z^2)^2 e E é a bola com centro na origem e raio 5 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla integral triplaE(x^2+y^2+z^2)^2,dV em coordenadas esféricas, onde E é a bola de raio 5 centrada na origem. O conteúdo principal é usar a mudança para coordenadas esféricas e o elemento de volume dV=r^2sinphi,dr,dphi,dtheta.

Passo 2

Na mudança para coordenadas esféricas usamos as relações
x=rsinphicostheta, y=rsinphisintheta, z=rcosphi, e x^2+y^2+z^2=r^2
Logo a função fica f=(r^2)^2=r^4 e o elemento de volume é r^2sinphi,dr,dphi,dtheta.

Passo 3

Substituindo na integral obtemos
integral triplaE f,dV= integraltheta=0^2piintegralphi=0^piintegralr=0^5r^4cdot r^2sinphi,dr,dphi,dtheta =integral0^2pidthetaintegral0^pisinphi,dphiintegral0^5r^6,dr

Passo 4

Calculamos cada parte separadamente:
  • integral0^2pidtheta=2pi.
  • integral0^pisinphi,dphi=2.
  • integral0^5r^6,dr=5^77=781257.

Passo 5

Multiplicando tudo, temos
2pitimes2times781257=4times78125pi7=312500pi7

Resposta

312500pi7

Exercícios relacionados