Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
(b)
sumn=0^infty (-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!

Passo 1

O enunciado nos pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)!
Para resolver, vamos usar o teste da razão aplicado à série de potências.

Passo 2

Chamamos de an o termo geral da série:
an = (-1)^n x^2n+1(2n+1)!
Aplicamos o teste da razão, calculando o limite
L = limntoinfty |an+1an|

Passo 3

Vamos simplificar a expressão:
|an+1an| = |(-1)^n+1 x^2(n+1)+1/(2(n+1)+1)!(-1)^n x^2n+1/(2n+1)!| = |x|^2n+3(2n+3)!,(2n+1)!|x|^2n+1 = x^2(2n+2)(2n+3)
Ao levar ntoinfty, obtemos
L = limntoinfty x^2(2n+2)(2n+3) = 0

Passo 4

Como L=0<1 para todo xinR, o teste da razão garante que a série converge para todos os valores de x. Portanto o raio de convergência é
R = infty,
e o intervalo de convergência é
(-infty,infty)

Resposta

R=infty e o intervalo de convergência é (-infty,infty).

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