Em cada caso, esboce a superfície formada pelo conjunto dos pontos
(x, y, z) in R^3 tais que:
x^2+y^2-z^2=-1;

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a superfície em R^3 definida por
x^2 + y^2 - z^2 = -1
Isso faz parte do estudo de superfícies quádricas em geometria analítica, onde precisamos identificar o tipo de quádricas e usar cortes (secções) para entender a forma.

Passo 2

Reescrevendo a equação de modo canónico note que
x^2 + y^2 - z^2 = -1 Long<=ftrightarrow z^2 - x^2 - y^2 = 1
Isto é exatamente a forma padrão de um hiperboloide de duas folhas ao longo do eixo z:
z^21 - x^21 - y^21 = 1

Passo 3

Analisando as secções horizontais (planos z = z0):
x^2 + y^2 = z0^2 - 1
  • Se |z0|>1, a secção é um círculo de raio raizz0^2-1.
  • Se |z0|=1, o círculo degenera num ponto (0,0,pm1).
  • Se |z0|<1, não há solução real (não existe superfície).
Logo só existem pontos para z>=1 ou z<=-1, gerando duas “folhas” separadas.

Passo 4

Analisando secções verticais, por exemplo em x = 0:
y^2 - z^2 = -1 Long<=ftrightarrow z^2 - y^2 = 1,
que é uma hipérbole com eixos ao longo de z. O mesmo vale para y=0.
Isso confirma que em cada folha, vistas de lado, vemos hipérboles abertas para cima (quando z>=1) ou para baixo (quando z<=-1).

Passo 5

Para |(x,y)| grande, a superfície se aproxima do cone
x^2 + y^2 - z^2 = 0,
que são as assíntotas do hiperboloide. Assim, cada folha “abre” em direcção ao infinito, aproximando-se desse cone duplo.

Passo 6

Juntando tudo:
  • Não há pontos entre z=-1 e z=1.
  • Há um “pontinho” em (0,0,1) e um em (0,0,-1).
  • Para z>1 cresce um círculo cujo raio aumenta conforme raizz^2-1.
  • Para z<-1 ocorre o mesmo simetricamente.
Isto define um hiperboloide de duas folhas, eixo principal coincidente com o eixo z, e assíntotas dadas pelo cone x^2+y^2-z^2=0.

Resposta

A superfície é um hiperboloide de duas folhas de revolução em torno do eixo z, definido por
z^2 - x^2 - y^2 = 1,
com folhas separadas para z>=1 e z<=-1, crescendo em círculos de raio raizz^2-1.

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