Em cada caso, esboce a superfície formada pelo conjunto dos pontos
tais que:
;
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a superfície em
definida por
Isso faz parte do estudo de superfícies quádricas em geometria analítica, onde precisamos identificar o tipo de quádricas e usar cortes (secções) para entender a forma.
Passo 2
Reescrevendo a equação de modo canónico note que
Isto é exatamente a forma padrão de um hiperboloide de duas folhas ao longo do eixo
:
Passo 3
Analisando as secções horizontais (planos
):
- Se
, a secção é um círculo de raio . - Se
, o círculo degenera num ponto . - Se
, não há solução real (não existe superfície).
Logo só existem pontos para
ou
, gerando duas “folhas” separadas.
Passo 4
Analisando secções verticais, por exemplo em
:
que é uma hipérbole com eixos ao longo de
. O mesmo vale para
.
Isso confirma que em cada folha, vistas de lado, vemos hipérboles abertas para cima (quando
) ou para baixo (quando
).
Passo 5
Para
grande, a superfície se aproxima do cone
que são as assíntotas do hiperboloide. Assim, cada folha “abre” em direcção ao infinito, aproximando-se desse cone duplo.
Passo 6
Juntando tudo:
- Não há pontos entre
e . - Há um “pontinho” em
e um em . - Para
cresce um círculo cujo raio aumenta conforme . - Para
ocorre o mesmo simetricamente.
Isto define um hiperboloide de duas folhas, eixo principal coincidente com o eixo
, e assíntotas dadas pelo cone
.
Resposta
A superfície é um hiperboloide de duas folhas de revolução em torno do eixo
, definido por
com folhas separadas para
e
, crescendo em círculos de raio
.