Encontre uma parametrização para a curva de nível k de f nos casos:
f(x, y)=1x^2-y^2, k=1.

Passo 1

O enunciado pede a curva de nível k=1 de
f(x,y)=1x^2-y^2,
ou seja, o conjunto de pontos (x,y) tais que
1x^2-y^2=1 Long<=ftrightarrow x^2-y^2=1
Essa é uma hipérbole de duas componentes: uma com x>=1 e outra com x<=-1.

Passo 2

Para parametrizar a hipérbole x^2-y^2=1, lembramos da identidade hiperbólica
cosh^2t-sinh^2t=1,
válida para todo tinR. Logo, podemos definir uma parametrização que percorre a “perna” direita da hipérbole.

Passo 3

Escolhendo
x(t)=cosh t, y(t)=sinh t, tinR,
vemos que
x(t)^2-y(t)^2 =cosh^2t-sinh^2t =1,
então l(x(t),y(t)r) cobre toda a componente com x>=1.

Passo 4

Para a componente esquerda ( x<=-1) basta inserir um sinal negativo em x. Ou seja,
x(t)=-cosh t, y(t)=sinh t, tinR,
também satisfaz x^2-y^2=1.

Resposta

Uma parametrização para as duas componentes da curva x^2-y^2=1 é
boxed gammapm(t)=l(,pmcosh t,,,sinh tr), tinR

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