O raio de convergência da série (ou seja, o valor de R tal que a série converge para |x|<R e diverge para |x|>R).
O intervalo de convergência (no caso real, os valores de x\in\mathbb{R} em que a série converge).
Informações úteis que o enunciado fornece:
O termo geral da série é (-1)^{n}\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Os expoentes de x são todos ímpares: 2n+1.
Aparecem fatoriais no denominador: (2n+1)!.
Passo 2
Vamos usar o Teste da Razão (ratio test) aplicado aos termos em valor absoluto para determinar para quais x a série converge. Vou primeiro lembrar o que diz o Teste da Razão de maneira clara e simples:
Seja uma série de termos positivos \sum t_n. Se existir
L=\lim_{n\to\infty}\frac{t_{n+1}}{t_n},
então
se L<1 a série converge,
se L>1 a série diverge,
se L=1 o teste é inconclusivo.
No nosso caso trabalhamos com termos que podem ser negativos, então aplicamos o teste aos módulos dos termos. Definimos o termo positivo
Para cada valor fixo de x aplicamos o teste da razão a t_n. Se o limite for <1 para esse x, a série converge naquele x. Encontrando os x que satisfazem essa condição determinamos o conjunto de convergência e, portanto, o raio.
Passo 3
Calculemos a razão \dfrac{t_{n+1}}{t_n}. Usando t_n=\dfrac{|x|^{2n+1}}{(2n+1)!} temos:
Como (2n+3)(2n+2) cresce como 4n^2 quando n\to\infty, o denominador tende a +\infty. Portanto o limite é
\lim_{n\to\infty}\frac{t_{n+1}}{t_n}=0
para todo x\in\mathbb{R}. Pelo Teste da Razão, se o limite L<1 a série converge; aqui L=0<1 para qualquer x. Logo a série converge para todo valor real de x.
Em termos do raio de convergência, isto significa que o raio é infinito: R=\infty. Intuitivamente, o fato dos fatoriais (2n+1)! crescerem muito mais rápido que as potências |x|^{2n+1} faz com que os termos vão a zero rápido e a série convirja mesmo para |x| muito grandes.
Passo 5
Intervalo de convergência: como o raio de convergência é infinito e a série é centrada em 0, o conjunto de convergência é todo o eixo real. Em notação de intervalo:
(-\infty,\infty).
Passo 6
Observação (útil como checagem, não necessária para responder a questão): essa série é exatamente a série de Taylor de \sin x centrada em 0, pois
Como \sin x é uma função inteira (analítica em todo \mathbb{C}), isso confirma que a série converge para todo x\in\mathbb{R} (e na verdade para todo x\in\mathbb{C}).
Resposta
Raio de convergência: R=\infty
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty)