Dada a função
, usando a regra da cadeia, determine:
, se
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se a derivada temporal de
ao longo da curva , isto é, quando e dependem de . - A função dada é
. - As parametrizações são
e . - Objetivo explícito: calcular
.
Passo 2
Regra que vamos usar (explicação didática da ideia): a regra da cadeia para funções de duas variáveis diz que, ao compor
com
, a derivada total em relação a
é a soma das contribuições de cada variável multiplicadas pela taxa de variação dessa variável:
onde
e
são derivadas parciais de
em relação a
e
respectivamente. Intuição: pequenas variações em
mudam
e
; cada mudança em
e em
contribui para a mudança total de
proporcionalmente às derivadas parciais.
Passo 3
Calcular a derivada parcial
passo a passo (usando produto e cadeia):
Começamos de
Tratamos
como produto de
e
. Pela regra do produto,
-
(porque a derivada de em é vezes a derivada de em , que é ). -
(regra da cadeia: derivada de é , aqui e ).
Substituindo,
Fatorando
,
Passo 4
Calcular a derivada parcial
passo a passo:
Usando novamente produto
,
,
-
(semelhante ao caso anterior). -
(pois tem derivada em igual a ).
Logo
Fatorando
,
Passo 5
Calcular
e
:
-
(derivada de é , de é ). -
(derivada de é , de é ).
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia juntando tudo:
Primeiro escrevemos a fórmula geral
Substituindo as expressões de
e
obtidas e fatorando
,
onde, nesse momento,
e
ainda significam
e
.
Passo 7
Substituir explicitamente
e
para obter a expressão final em termos de
(tudo em forma explícita):