Dada a função f(x, y)=e^{x y} \cos (2 x-y), usando a regra da cadeia, determine:
\frac{\partial f}{\partial t}, se x(t)=3 t^{2}-2 e y(t)=2 t^{5}+1.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se a derivada temporal de f ao longo da curva t \mapsto (x(t),y(t)), isto é, \dfrac{\partial f}{\partial t} quando x e y dependem de t.
  • A função dada é f(x,y)=e^{x y}\cos(2x-y).
  • As parametrizações são x(t)=3t^{2}-2 e y(t)=2t^{5}+1.
  • Objetivo explícito: calcular \dfrac{d}{dt}\big(f(x(t),y(t))\big).

Passo 2

Regra que vamos usar (explicação didática da ideia): a regra da cadeia para funções de duas variáveis diz que, ao compor f(x,y) com x(t),y(t), a derivada total em relação a t é a soma das contribuições de cada variável multiplicadas pela taxa de variação dessa variável:
\frac{d}{dt}f(x(t),y(t)) = f_x(x(t),y(t))\cdot \frac{dx}{dt} + f_y(x(t),y(t))\cdot \frac{dy}{dt},
onde f_x e f_y são derivadas parciais de f em relação a x e y respectivamente. Intuição: pequenas variações em t mudam x e y; cada mudança em x e em y contribui para a mudança total de f proporcionalmente às derivadas parciais.

Passo 3

Calcular a derivada parcial f_x passo a passo (usando produto e cadeia):
Começamos de
f(x,y)=e^{xy}\cos(2x-y).
Tratamos f como produto de u(x,y)=e^{xy} e v(x,y)=\cos(2x-y). Pela regra do produto,
f_x = u_x\cdot v + u\cdot v_x.
  • u_x = \dfrac{\partial}{\partial x} e^{xy} = y\,e^{xy} (porque a derivada de e^{xy} em x é e^{xy} vezes a derivada de xy em x, que é y).
  • v_x = \dfrac{\partial}{\partial x}\cos(2x-y) = -\sin(2x-y)\cdot (2) = -2\sin(2x-y) (regra da cadeia: derivada de \cos(u) é -\sin(u) u', aqui u=2x-y e u'=2).
Substituindo,
f_x = (y e^{xy})\cos(2x-y) + e^{xy}\big(-2\sin(2x-y)\big).
Fatorando e^{xy},
f_x = e^{xy}\big(y\cos(2x-y) - 2\sin(2x-y)\big).

Passo 4

Calcular a derivada parcial f_y passo a passo:
Usando novamente produto u=e^{xy}, v=\cos(2x-y),
f_y = u_y\cdot v + u\cdot v_y.
  • u_y = \dfrac{\partial}{\partial y} e^{xy} = x\,e^{xy} (semelhante ao caso anterior).
  • v_y = \dfrac{\partial}{\partial y}\cos(2x-y) = -\sin(2x-y)\cdot(-1) = +\sin(2x-y) (pois u'=2x-y tem derivada em y igual a -1).
Logo
f_y = (x e^{xy})\cos(2x-y) + e^{xy}\sin(2x-y).
Fatorando e^{xy},
f_y = e^{xy}\big(x\cos(2x-y) + \sin(2x-y)\big).

Passo 5

Calcular \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}:
  • x(t)=3t^{2}-2 \Rightarrow \dfrac{dx}{dt}=6t (derivada de 3t^2 é 6t, de -2 é 0).
  • y(t)=2t^{5}+1 \Rightarrow \dfrac{dy}{dt}=10t^{4} (derivada de 2t^5 é 10t^4, de 1 é 0).

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia juntando tudo:
Primeiro escrevemos a fórmula geral
\frac{d}{dt}f(x(t),y(t)) = f_x(x(t),y(t))\cdot 6t + f_y(x(t),y(t))\cdot 10t^{4}.
Substituindo as expressões de f_x e f_y obtidas e fatorando e^{xy},
\frac{d}{dt}f(x(t),y(t)) = e^{xy}\Big(6t\big(y\cos(2x-y)-2\sin(2x-y)\big)+10t^{4}\big(x\cos(2x-y)+\sin(2x-y)\big)\Big),
onde, nesse momento, x e y ainda significam x(t) e y(t).

Passo 7

Substituir explicitamente x(t)=3t^{2}-2 e y(t)=2t^{5}+1 para obter a expressão final em termos de t (tudo em forma explícita):
\frac{d}{dt}f(x(t),y(t))=e^{(3t^{2}-2)(2t^{5}+1)}\Bigg(6t\Big((2t^{5}+1)\cos\big(2(3t^{2}-2)-(2t^{5}+1)\big)-2\sin\big(2(3t^{2}-2)-(2t^{5}+1)\big)\Big)
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+10t^{4}\Big((3t^{2}-2)\cos\big(2(3t^{2}-2)-(2t^{5}+1)\big)+\sin\big(2(3t^{2}-2)-(2t^{5}+1)\big)\Big)\Bigg).

Resposta

\frac{d}{dt}f(x(t),y(t))=e^{(3t^{2}-2)(2t^{5}+1)}\Big(6t\big((2t^{5}+1)\cos\big(6t^{2}-4-2t^{5}-1\big)-2\sin\big(6t^{2}-4-2t^{5}-1\big)\big)
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+10t^{4}\big((3t^{2}-2)\cos\big(6t^{2}-4-2t^{5}-1\big)+\sin\big(6t^{2}-4-2t^{5}-1\big)\big)\Big).

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