Dada a função f(x, y)=e^{x y} \cos (2 x-y), usando a regra da cadeia, determine: \frac{\partial f}{\partial s}, se x(s, t)=2 t^{2}+s^{3} e y(s, t)=4 s^{5} t-t^{3}.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos:
Pede: calcular \frac{\partial f}{\partial s} para a função composta f(x(s,t),y(s,t)).
Função dada:
f(x,y)=e^{xy}\cos(2x-y).
As parametrizações dadas (peguei essas expressões do enunciado):
x(s,t)=2t^{2}+s^{3},
y(s,t)=4s^{5}t-t^{3}.
Passo 2
Entendendo o que devemos usar (ideia da solução, explicada passo a passo):
Quando temos uma função f(x,y) e x e y dependem de s e t, a derivada parcial de f em relação a s é calculada pela regra da cadeia multivariada. A fórmula é:
\frac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x mantendo y fixo (ou seja, tratamos y como constante).
\frac{\partial x}{\partial s} é a derivada de x(s,t) em relação a s (tratando t como constante).
Termos análogos valem para a parte com y.
Nos próximos passos vou calcular \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial x}{\partial s} e \frac{\partial y}{\partial s} explicitamente e depois montar a combinação acima.
Passo 3
Calcular \frac{\partial f}{\partial x}. Vou derivar f(x,y)=e^{xy}\cos(2x-y) em relação a x, tratando y como constante.
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia. Primeiro escrevo f como produto:
Calcular \frac{\partial x}{\partial s} e \frac{\partial y}{\partial s} a partir das expressões paramétricas (aqui aplico regra de potência e derivada de produto quando necessário).
Temos:
x(s,t)=2t^{2}+s^{3}.
Derivando em relação a s (com t fixo):
\frac{\partial x}{\partial s}=3s^{2}.
E
y(s,t)=4s^{5}t - t^{3}.
Aqui t é tratado como constante; a derivada de 4s^{5}t em relação a s é 4t\cdot 5s^{4}=20s^{4}t; e -t^{3} é constante em relação a s, então sua derivada é 0. Logo:
\frac{\partial y}{\partial s}=20s^{4}t.
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia usando os resultados anteriores. A fórmula é: