Dada a função f(x, y)=e^{x y} \cos (2 x-y), usando a regra da cadeia, determine:
\frac{\partial f}{\partial s}, se x(s, t)=2 t^{2}+s^{3} e y(s, t)=4 s^{5} t-t^{3}.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos:
  • Pede: calcular \frac{\partial f}{\partial s} para a função composta f(x(s,t),y(s,t)).
  • Função dada:
f(x,y)=e^{xy}\cos(2x-y).
  • As parametrizações dadas (peguei essas expressões do enunciado):
x(s,t)=2t^{2}+s^{3},
y(s,t)=4s^{5}t-t^{3}.

Passo 2

Entendendo o que devemos usar (ideia da solução, explicada passo a passo):
Quando temos uma função f(x,y) e x e y dependem de s e t, a derivada parcial de f em relação a s é calculada pela regra da cadeia multivariada. A fórmula é:
\frac{\partial f}{\partial s} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}.
Explicando cada termo:
  • \frac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x mantendo y fixo (ou seja, tratamos y como constante).
  • \frac{\partial x}{\partial s} é a derivada de x(s,t) em relação a s (tratando t como constante).
  • Termos análogos valem para a parte com y.
Nos próximos passos vou calcular \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial x}{\partial s} e \frac{\partial y}{\partial s} explicitamente e depois montar a combinação acima.

Passo 3

Calcular \frac{\partial f}{\partial x}. Vou derivar f(x,y)=e^{xy}\cos(2x-y) em relação a x, tratando y como constante.
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia. Primeiro escrevo f como produto:
f(x,y)=\underbrace{e^{xy}}_{A(x)}\cdot\underbrace{\cos(2x-y)}_{B(x)}.
Derivando:
\frac{\partial f}{\partial x} = A'(x)B(x) + A(x)B'(x).
Agora calcule cada derivada:
  • A'(x)=\frac{\partial}{\partial x} e^{xy}=y\,e^{xy}, porque \frac{d}{dx}e^{xy}=e^{xy}\cdot\frac{d}{dx}(xy)=e^{xy}\cdot y.
  • B'(x)=\frac{d}{dx}\cos(2x-y)=-\sin(2x-y)\cdot\frac{d}{dx}(2x-y)=-\sin(2x-y)\cdot 2.
Substituindo:
\frac{\partial f}{\partial x} = y\,e^{xy}\cos(2x-y) + e^{xy}\big(-2\sin(2x-y)\big).
Colocando fator comum e^{xy}:
\frac{\partial f}{\partial x} = e^{xy}\Big(y\cos(2x-y)-2\sin(2x-y)\Big).

Passo 4

Calcular \frac{\partial f}{\partial y}. Agora derivamos f(x,y)=e^{xy}\cos(2x-y) em relação a y, tratando x como constante.
Usamos a regra do produto novamente:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}e^{xy}\cdot\cos(2x-y) + e^{xy}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\cos(2x-y).
Calcule as derivadas:
  • \frac{\partial}{\partial y}e^{xy}=x\,e^{xy}, porque \frac{d}{dy}e^{xy}=e^{xy}\cdot\frac{d}{dy}(xy)=e^{xy}\cdot x.
  • \frac{\partial}{\partial y}\cos(2x-y)=-\sin(2x-y)\cdot\frac{d}{dy}(2x-y)=-\sin(2x-y)\cdot(-1)=\sin(2x-y).
Substituindo:
\frac{\partial f}{\partial y} = x\,e^{xy}\cos(2x-y) + e^{xy}\sin(2x-y).
Fatorando e^{xy}:
\frac{\partial f}{\partial y} = e^{xy}\Big(x\cos(2x-y)+\sin(2x-y)\Big).

Passo 5

Calcular \frac{\partial x}{\partial s} e \frac{\partial y}{\partial s} a partir das expressões paramétricas (aqui aplico regra de potência e derivada de produto quando necessário).
Temos:
x(s,t)=2t^{2}+s^{3}.
Derivando em relação a s (com t fixo):
\frac{\partial x}{\partial s}=3s^{2}.
E
y(s,t)=4s^{5}t - t^{3}.
Aqui t é tratado como constante; a derivada de 4s^{5}t em relação a s é 4t\cdot 5s^{4}=20s^{4}t; e -t^{3} é constante em relação a s, então sua derivada é 0. Logo:
\frac{\partial y}{\partial s}=20s^{4}t.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia usando os resultados anteriores. A fórmula é:
\frac{\partial f}{\partial s} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}.
Substituindo \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial x}{\partial s} e \frac{\partial y}{\partial s}:
\frac{\partial f}{\partial s} = e^{xy}\Big(y\cos(2x-y)-2\sin(2x-y)\Big)\cdot 3s^{2} + e^{xy}\Big(x\cos(2x-y)+\sin(2x-y)\Big)\cdot 20s^{4}t.
Fatorando e^{xy} e organizando:
\frac{\partial f}{\partial s} = e^{xy}\Big[ 3s^{2}\big(y\cos(2x-y)-2\sin(2x-y)\big) + 20s^{4}t\big(x\cos(2x-y)+\sin(2x-y)\big) \Big].
Agora substituo explicitamente x(s,t)=2t^{2}+s^{3} e y(s,t)=4s^{5}t-t^{3} para ter a expressão final em termos de s e t:
\frac{\partial f}{\partial s} = \exp\big((2t^{2}+s^{3})(4s^{5}t-t^{3})\big)\!\Big[ 3s^{2}\big((4s^{5}t-t^{3})\cos(2(2t^{2}+s^{3})-(4s^{5}t-t^{3}))-2\sin(2(2t^{2}+s^{3})-(4s^{5}t-t^{3}))\big)
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad +20s^{4}t\big((2t^{2}+s^{3})\cos(2(2t^{2}+s^{3})-(4s^{5}t-t^{3}))+ \sin(2(2t^{2}+s^{3})-(4s^{5}t-t^{3}))\big) \Big].

Resposta

\frac{\partial f}{\partial s} = e^{xy}\Big[ 3s^{2}\big(y\cos(2x-y)-2\sin(2x-y)\big) + 20s^{4}t\big(x\cos(2x-y)+\sin(2x-y)\big) \Big],
com x=2t^{2}+s^{3} e y=4s^{5}t-t^{3}.

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