Dê um exemplo de:
Uma série que seja convergente, mas não absolutamente convergente. Justifique.

Passo 1

O que o problema pede: dar um exemplo de uma série que seja convergente, mas não absolutamente convergente, e justificar por que ela converge e por que sua série de termos absolutos diverge.
Informações que vou usar (nenhuma informação extra foi pedida): uma série infinita com termos reais; preciso mostrar dois fatos distintos: (i) a série original converge; (ii) a série formada pelos valores absolutos dos termos diverge.

Passo 2

Vou apresentar a série clássica que resolve o pedido:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}.
Antes de provar qualquer coisa, explico os conceitos que vou usar, de forma bem clara e direta.
Definições rápidas e úteis:
  • Sequência de termos: chamar a_n=\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}. A série é \sum_{n=1}^\infty a_n.
  • Convergência de série: \sum a_n convergirá se as somas parciais S_N=\sum_{n=1}^N a_n tiverem limite finito quando N\to\infty.
  • Convergência absoluta: \sum a_n converge absolutamente se \sum |a_n| converge. Se \sum a_n converge, mas \sum |a_n| diverge, dizemos que a convergência é condicional.
  • Teste que vou usar para a parte de convergência: o teste de séries alternantes (teste de Leibniz): se (b_n) é uma sequência positiva e monótona decrescente com \lim_{n\to\infty} b_n=0, então \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} b_nconverge.

Passo 3

Aplicando o teste de séries alternantes para provar que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} converge.
Defino b_n=\dfrac{1}{n}. Verifico as hipóteses do teste:
  1. Positividade: \,b_n>0 para todo n\ge 1. Em TeX: b_n=\dfrac{1}{n}>0.
  2. Monotonia decrescente: comparar b_{n+1} e b_n: b_{n+1}=\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}=b_n\quad\text{para todo }n\ge1.Logo (b_n) é decrescente.
  3. Limite nulo: calcular \lim_{n\to\infty} b_n: \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
Todas as hipóteses do teste de Leibniz estão satisfeitas; portanto a série alternante
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}
converge.
Um comentário amigo: essa é a famosa série harmônica alternada. Ela converge porque os termos positivos/negativos vão alternando e o tamanho dos termos vai decrescendo até zero — é exatamente a situação em que as oscilações se “acalman” para um limite.

Passo 4

Agora mostrar que a série dos valores absolutos diverge, ou seja, que
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é divergente. Essa última é a série harmônica simples; vou provar sua divergência usando o teste da integral (fácil e direto).
Considere a função f(x)=\dfrac{1}{x} definida para x\ge1. f é positiva, contínua e decrescente para x\ge1. Pelo teste da integral, se
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx
diverge, então a série \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n} também diverge. Calculo a integral:
\int_{1}^{T}\frac{1}{x}\,dx=\big[\ln x\big]_{1}^{T}=\ln T-\ln 1=\ln T.
Quando T\to\infty, \ln T\to\infty. Portanto
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx=+\infty,
logo a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
diverge. Assim a soma dos valores absolutos diverge.
(Se preferir outro argumento: também dá para provar a divergência da série harmônica por comparação em blocos ou pelo teste de condensação de Cauchy; o resultado é o mesmo: diverge.)

Passo 5

Conclusão final (interpretação didática): a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}
converge pelo teste de séries alternantes, mas a série dos seus módulos
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é divergente (série harmônica). Portanto a convergência da série alternante é condicional: ela converge, mas não absolutamente.
Um toque extra (opcional, só para motivar): essa série alternante converge ao valor \ln 2; ou seja,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}=\ln 2,
mas esse valor numérico não é necessário para a justificativa pedida — apenas uma curiosidade gostosa para lembrar.

Resposta

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} — converge (pelo teste de Leibniz), mas não converge absolutamente, pois \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} diverge.

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