Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=1^infty 2^n n^2 x^n

Passo 1

Temos a série de potências sumn=1^infty2^n n^2 x^n. O conteúdo aqui é encontrar o raio de convergência e depois checar o que acontece nos extremos. Para isso, vamos usar o teste da razão, que é uma ferramenta padrão para séries de potências.

Passo 2

Seja an = 2^n n^2 x^n. O teste da razão pede que a gente calcule
L = limntoinfty | an+1an |
Primeiro escrevemos a razão:
| an+1an | = | 2^n+1(n+1)^2 x^n+12^n n^2 x^n | = (n+1)^2n^2 ;|2x|
Agora tiramos o limite quando ntoinfty:
L = limntoinfty (n+1)^2n^2 ;|2x| = |2x|
O teste da razão diz que a série converge se L<1, ou seja, se |2x|<1.

Passo 3

Da condição |2x|<1 tiramos
|x|
logo o raio de convergência é
R = tfrac12

Passo 4

Agora falta checar os extremos x=pmtfrac12:
  • Para x=tfrac12: a série vira sum n^2(2cdottfrac12)^n=sum n^2. Como os termos gerais n^2 não tendem a zero, a série diverge.
  • Para x=-tfrac12: a série vira sum n^2(2cdot(-tfrac12))^n=sum n^2(-1)^n. De novo, n^2 não vai a zero, então diverge também.

Passo 5

Concluímos que a série converge estritamente para -tfrac12, e nos extremos diverge.

Resposta

Raio de convergência: R=tfrac12. Intervalo de convergência: (-tfrac12,,tfrac12).

Exercícios relacionados