Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo aqui é teste da razão (critério de Cauchy) para séries de potências. Vamos precisar usar a definição:
e então o raio de convergência é
R = 1/L . Depois, testamos os extremos
x=pm1 usando o teste da divergência (termos não tendem a zero).
Passo 2
Aplicando o teste da razão: temos
an = nn+1 . Calculamos
Então
Logo o raio de convergência é
Isto mostra que a série converge para
|x|<1 e diverge para
|x|>1 .
Passo 3
Agora vamos testar os extremos. Primeiro
x=1 : os termos gerais ficam
Como
limntoinfty nn+1 = 1 neq 0 , pela condição necessária para convergência a série diverge.
Passo 4
Para
x=-1 : os termos são
O módulo dos termos é
n/(n+1)to1 , então os termos não tendem a zero. Logo também diverge.
Passo 5
Portanto a série converge somente quando
|x|<1 .
Resposta
Raio de convergência
R=1 e intervalo de convergência
(-1,1) .