Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=1^infty nn+1 x^n

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty nn+1x^n
O conteúdo aqui é teste da razão (critério de Cauchy) para séries de potências. Vamos precisar usar a definição:
L = limntoinfty | an+1an |
e então o raio de convergência é R = 1/L. Depois, testamos os extremos x=pm1 usando o teste da divergência (termos não tendem a zero).

Passo 2

Aplicando o teste da razão: temos an = nn+1. Calculamos
an+1an = n+1n+2nn+1 = n+1n+2 cdot n+1n = (n+1)^2n(n+2)
Então
L = limntoinfty (n+1)^2n(n+2) = 1
Logo o raio de convergência é
R = 1L = 1
Isto mostra que a série converge para |x|<1 e diverge para |x|>1.

Passo 3

Agora vamos testar os extremos. Primeiro x=1: os termos gerais ficam
nn+1cdot1^n = nn+1
Como limntoinfty nn+1 = 1 neq 0, pela condição necessária para convergência a série diverge.

Passo 4

Para x=-1: os termos são
nn+1(-1)^n
O módulo dos termos é n/(n+1)to1, então os termos não tendem a zero. Logo também diverge.

Passo 5

Portanto a série converge somente quando |x|<1.

Resposta

Raio de convergência R=1 e intervalo de convergência (-1,1).

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