Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=1^infty n5^n x^n

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^inftyn5^nx^n. Vamos usar o teste da razão para encontrar o raio e depois checar os extremos para ver se incluem ou não.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão: seja an=n5^nx^n. Calculamos
L=limntoinfty|an+1an| =limntoinfty(n+1)/5^n+1,|x|^n+1(n/5^n),|x|^n =limntoinftyn+15n,|x| =|x|5
Para convergência precisamos de L<1, ou seja |x|/5<1.

Passo 3

Isso dá o raio de convergência
R=5
Agora vamos checar os extremos x=5 e x=-5.

Passo 4

Para x=5 a série vira
sumn=1^inftyn5^n5^n=sumn=1^infty n,
que claramente diverge (os termos não vão a zero e cresce sem limite).

Passo 5

Para x=-5 a série fica
sumn=1^inftyn5^n(-5)^n=sumn=1^infty n(-1)^n,
cujo termo geral n(-1)^n não tende a zero, logo também diverge.

Resposta

Raio de convergência R=5 e intervalo de convergência aberto: (-5,5).

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