Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências . Vamos usar o teste da razão para encontrar o raio e depois checar os extremos para ver se incluem ou não.
Passo 2
Aplicamos o teste da razão: seja . Calculamos
Para convergência precisamos de L<1, ou seja |x|/5<1.
Passo 3
Isso dá o raio de convergência
R=5
Agora vamos checar os extremos x=5 e x=-5.
Passo 4
Para x=5 a série vira
sumn=1^inftyn5^n5^n=sumn=1^infty n,
que claramente diverge (os termos não vão a zero e cresce sem limite).
Passo 5
Para x=-5 a série fica
sumn=1^inftyn5^n(-5)^n=sumn=1^infty n(-1)^n,
cujo termo geral n(-1)^n não tende a zero, logo também diverge.
Resposta
Raio de convergência R=5 e intervalo de convergência aberto: (-5,5).