Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=1^infty n!x^n1 cdot 3 cdot 5 cdot cdots cdot(2 n-1)

Passo 1

O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty n!,x^n1cdot3cdot5cdots(2n-1). Isso envolve séries de potências e o teste da razão para determinar o raio de convergência.

Passo 2

Para usar o teste da razão, primeiro simplificamos o produto dos ímpares. Note que
1cdot3cdot5cdots(2n-1)=prodk=1^n(2k-1)=(2n)!2^n,n!
Logo o coeficiente geral é
an=n!1cdot3cdotcdots(2n-1)=n!,2^n,n!(2n)!=2^n,(n!)^2(2n)!

Passo 3

Agora aplicamos o teste da razão. Considere
L=limntoinftyl|an+1x^n+1anx^nr| =limntoinftyn+12n+1,|x| =|x|2
Pela regra, a série converge se L<1, ou seja |x|/2<1 e daí o raio de convergência é R=2.

Passo 4

Faltam os extremos. Para x=2 o termo geral é
an2^n=2^n,(n!)^2(2n)!;2^n=4^n,(n!)^2(2n)!simraizpi n(ntoinfty),
e não tende a zero, logo divergência. O mesmo ocorre em x=-2 (o termo alterna, mas em valor absoluto cresce). Portanto a convergência é apenas para -2.

Resposta

Raio de convergência R=2 e intervalo de convergência (−2,2).

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