Nos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
. Estamos lidando com equações diferenciais lineares de quarta ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar tanto a solução complementar quanto a solução particular dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é obtida removendo o termo não homogêneo (o
):
Vamos supor que a solução seja da forma
, onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Fatorando
(que nunca é zero):
Passo 4
Resolvendo a equação característica
:
Isso nos dá as raízes:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução complementar
é formada pelas combinações das soluções associadas a cada raiz:
Onde
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação original
.
Como o termo não homogêneo é um polinômio de primeiro grau (
), tentamos uma solução particular da forma:
(Essas potências são escolhidas porque chutes de menor grau já fazem parte da solução complementar devido à multiplicidade da raiz
.)
Passo 7
Calculando as derivadas necessárias de
:
Passo 8
Substituindo
e suas derivadas na equação diferencial:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para o termo
:
Para o termo constante:
Passo 9
Substituindo os valores de
e
na solução particular:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: