Nos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada.
y^(4)+y^prime prime prime=t

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a solução geral da equação diferencial . Estamos lidando com equações diferenciais lineares de quarta ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar tanto a solução complementar quanto a solução particular dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é obtida removendo o termo não homogêneo (o y^(4) + y''' = 0 ):
Vamos supor que a solução seja da forma , onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 3

Substituindo r^4 e^rt + r^3 e^rt = 0 na equação homogênea:
e^rt (r^4 + r^3) = 0 implies r^4 + r^3 = 0
Fatorando (que nunca é zero):

Passo 4

Resolvendo a equação característica r^3 (r + 1) = 0 :
r = 0 (com mu
Isso nos dá as raízes:

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução complementar yc(t) = C1 + C2 t + C3 t^2 + C4 e^-t é formada pelas combinações das soluções associadas a cada raiz:
Onde são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp(t) = A t^3 + B t^4 para a equação original .
Como o termo não homogêneo é um polinômio de primeiro grau ( ), tentamos uma solução particular da forma:
(Essas potências são escolhidas porque chutes de menor grau já fazem parte da solução complementar devido à multiplicidade da raiz .)

Passo 7

Calculando as derivadas necessárias de yp' = 3A t^2 + 4B t^3 yp'' = 6A t + 12B t^2 yp''' = 6A + 24B t yp^(4) = 24B :

Passo 8

Substituindo yp^(4) + yp''' = t 24B + 6A + 24B t = t e suas derivadas na equação diferencial:
24B = 1 implies B = 124
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para o termo 6A + 24B = 0 6A + 1 = 0 implies A = -16 :
Para o termo constante:

Passo 9

Substituindo os valores de yp(t) = -16 t^3 + 124 t^4 e na solução particular:

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar com a solução particular:
y(t) = yc(t) + yp(t) y(t) = C1 + C2 t + C3 t^2 + C4 e^-t - 16 t^3 + 124 t^4

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 + C2 t + C3 t^2 + C4 e^-t - 16 t^3 + 124 t^4

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