Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências.
Passo 1
Vamos recapitular o que a questão pede: temos a série de potências
o conteúdo é convergência de série de potências. Para resolver, vamos usar o teste da razão para achar o raio de convergência e depois verificar o comportamento nos extremos do intervalo.
Passo 2
Pelo teste da razão, definimos e calculamos
Pela regra, a série converge se 5|x|<1, ou seja |x|<1/5. Portanto o raio de convergência é R=1/5.
Passo 3
Agora testamos os extremos: para x=1/5 a série vira
sumn=2^infty5^nnl(15r)^n=sumn=2^infty1n,
que diverge (série harmônica). Para x=-1/5 ela se torna
sumn=2^infty5^nnl(-15r)^n=sumn=2^infty(-1)^nn,
que converge pelo teste de Leibniz (termos alternados decrescentes em módulo tendendo a zero). Logo, o intervalo de convergência é
xinl[-tfrac15,,tfrac15r)
Resposta
Raio de convergência: R=1/5. Intervalo de convergência: xin[-1/5,,1/5).