Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=2^infty 5^nn x^n

Passo 1

Vamos recapitular o que a questão pede: temos a série de potências
sumn=2^infty 5^nn,x^n
o conteúdo é convergência de série de potências. Para resolver, vamos usar o teste da razão para achar o raio de convergência e depois verificar o comportamento nos extremos do intervalo.

Passo 2

Pelo teste da razão, definimos an=5^n/n e calculamos
limntoinfty|an+1,x^n+1an,x^n| =limntoinfty|5^n+1n+1x^n+15^nnx^n| =limntoinfty5nn+1|x| =5|x|
Pela regra, a série converge se 5|x|<1, ou seja |x|<1/5. Portanto o raio de convergência é R=1/5.

Passo 3

Agora testamos os extremos: para x=1/5 a série vira
sumn=2^infty5^nnl(15r)^n=sumn=2^infty1n,
que diverge (série harmônica). Para x=-1/5 ela se torna
sumn=2^infty5^nnl(-15r)^n=sumn=2^infty(-1)^nn,
que converge pelo teste de Leibniz (termos alternados decrescentes em módulo tendendo a zero). Logo, o intervalo de convergência é
xinl[-tfrac15,,tfrac15r)

Resposta

Raio de convergência: R=1/5. Intervalo de convergência: xin[-1/5,,1/5).

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