Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} n x^{n}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=1^infty(-1)^n,n,x^n
O conteúdo envolve aplicação do teste da razão para determinar o raio e, em seguida, teste dos extremos x=1 e x=-1.

Passo 2

Defina an=(-1)^nn x^n. Vamos aplicar o teste da razão em valor absoluto:
limntoinfty|an+1an| =limntoinfty(n+1),lvert xrvert^,n+1n,lvert xrvert^,n =limntoinftyn+1n,lvert xrvert =lvert xrvert
Para convergência precisamos de lvert xrvert<1. Logo o raio de convergência é
R=1

Passo 3

Testamos os extremos:
Para x=1 a série fica sum(-1)^nn. Como limntoinftynneq0, diverge por o termo geral não tender a zero.
Para x=-1 a série fica sum(-1)^nn(-1)^n=sum n, que também diverge pois os termos crescem sem limite.

Resposta

O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é (-1,1).

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