Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} n x^{n}
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
O conteúdo envolve aplicação do teste da razão para determinar o raio e, em seguida, teste dos extremos e .
Passo 2
Defina . Vamos aplicar o teste da razão em valor absoluto:
Para convergência precisamos de lvert xrvert<1. Logo o raio de convergência é
R=1
Passo 3
Testamos os extremos:
Para x=1 a série fica sum(-1)^nn. Como limntoinftynneq0, diverge por o termo geral não tender a zero.
Para x=-1 a série fica sum(-1)^nn(-1)^n=sum n, que também diverge pois os termos crescem sem limite.
Resposta
O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é (-1,1).