Verifique se as relações a seguir satisfazem as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva (demonstrando ou dando contraexemplos)
em
definida por:
;
Passo 1
O enunciado pede para analisar a relação
sobre o conjunto das partes de
, definida por
O conteúdo é teoria de relações: precisamos usar as definições de reflexiva, simétrica e transitiva e, para cada caso, decidir se a propriedade vale ou não, dando prova ou contraexemplo.
Passo 2
Reflexiva significa que todo conjunto
deve satisfazer
, ou seja
. Mas se tomarmos
temos
que não é não-vazio. Logo
não está relacionado a si próprio e
não é reflexiva.
Passo 3
Simétrica significa que sempre que
ocorre, também
ocorre. Como interseção é comutativa,
logo
é simétrica.
Passo 4
Transitiva exige que de
e
se siga
. Podemos dar um contraexemplo:
Então
mas
Logo
e
ocorrem mas
não, provando que
não é transitiva.