Verifique se as relações a seguir satisfazem as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva (demonstrando ou dando contraexemplos)
R em N definida por: A R B Leftrightarrow A cap B neq emptyset;

Passo 1

O enunciado pede para analisar a relação R sobre o conjunto das partes de N, definida por
A,R,B ;Long<=ftrightarrow; Acap B neq emptyset
O conteúdo é teoria de relações: precisamos usar as definições de reflexiva, simétrica e transitiva e, para cada caso, decidir se a propriedade vale ou não, dando prova ou contraexemplo.

Passo 2

Reflexiva significa que todo conjunto A deve satisfazer A,R,A, ou seja Acap Aneqemptyset. Mas se tomarmos A=emptyset temos
Acap A = emptyset cap emptyset = emptyset,
que não é não-vazio. Logo emptyset não está relacionado a si próprio e R não é reflexiva.

Passo 3

Simétrica significa que sempre que A,R,B ocorre, também B,R,A ocorre. Como interseção é comutativa,
Acap B neq emptyset Longrightarrow Bcap A neq emptyset,
logo R é simétrica.

Passo 4

Transitiva exige que de A,R,B e B,R,C se siga A,R,C. Podemos dar um contraexemplo:
A = 1,2, B = 2,3, C = 3,4
Então
Acap B = 2neqemptyset, Bcap C = 3neqemptyset,
mas
Acap C = 1,2cap3,4 = emptyset
Logo A,R,B e B,R,C ocorrem mas A,R,C não, provando que R não é transitiva.

Resposta

R não é reflexiva, é simétrica e não é transitiva.

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